Teoría de la fijación de precios de arbitraje: no es sólo matemática elegante

La teoría de la fijación de precios de arbitraje (APT) es una alternativa al modelo de fijación de precios de los activos de capital (CAPM) para explicar la rentabilidad de los activos o las carteras. Fue desarrollada por el economista Stephen Ross en la década de 1970. A lo largo de los años, la teoría de la fijación de precios de arbitraje ha crecido en popularidad por sus supuestos relativamente más simples. Sin embargo, la teoría de la fijación de precios de arbitraje es mucho más difícil de aplicar en la práctica porque requiere muchos datos y un complejo análisis estadístico.

Veamos qué es la teoría de los precios de arbitraje y cómo podemos ponerla en práctica.

Puntos clave

• El arbitraje es la práctica de comprar y vender simultáneamente el mismo artículo a dos precios diferentes para obtener un beneficio sin riesgo.
• En economía financiera, la teoría de la fijación de precios de arbitraje (APT) supone que las ineficiencias del mercado surgen de vez en cuando, pero se mantienen bajo control gracias a la labor de los arbitrajistas, que identifican y eliminan inmediatamente esas oportunidades cuando surgen.
• El APT se formaliza mediante una fórmula multifactorial que relaciona la relación lineal entre la rentabilidad esperada de un activo y diversas variables macroeconómicas.

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Teoría de los precios de arbitraje

Qué es el APT?

La APT es un modelo técnico multifactorial basado en la relación entre el rendimiento esperado de un activo financiero y su riesgo. El modelo está diseñado para capturar la sensibilidad de los rendimientos del activo a los cambios en ciertas variables macroeconómicas. Los inversores y los analistas financieros pueden utilizar estos resultados para ayudar a fijar el precio de los valores.

Inherente a la teoría de la fijación de precios de arbitraje es la creencia de que los valores con precios erróneos pueden representar oportunidades de beneficio a corto plazo y sin riesgo. La APT difiere del CAPM más convencional, que utiliza un solo factor. Sin embargo, al igual que el CAPM, la APT supone que un modelo de factores puede describir eficazmente la correlación entre el riesgo y la rentabilidad.

3 Supuestos subyacentes del APT

A diferencia del modelo de fijación de precios de los activos de capital, la teoría de fijación de precios de arbitraje no supone que los inversores tengan carteras eficientes.

Sin embargo, la teoría sigue tres supuestos subyacentes:

• Los rendimientos del activo se explican por factores sistemáticos.
• Los inversores pueden construir una cartera de activos en la que se elimina el riesgo específico mediante la diversificación.
• No existe ninguna oportunidad de arbitraje entre las carteras bien diversificadas. Si existen oportunidades de arbitraje, los inversores las aprovecharán. (Así es como la teoría obtuvo su nombre.)

Supuestos del modelo de fijación de precios de los activos de capital

Podemos ver que se trata de supuestos más relajados que los del modelo de valoración de activos de capital. Ese modelo supone que todos los inversores tienen expectativas homogéneas sobre la rentabilidad media y la varianza de los activos. También supone que todos los inversores disponen de la misma frontera eficiente.

Para una cartera bien diversificada, una fórmula básica que describe la teoría de la fijación de precios de arbitraje puede escribirse como sigue:

$\N – Inicio{alineación} &E(R_p) = R_f + \beta_1 f_1 + \beta_2 f_2 + \dotso + \beta_n f_n \\\ &\textbf{en el que:}\\\\\a &E(R_p)=\text{retorno esperado}\\N &R_f=\texto{retorno libre de riesgo}\\\$ &\beta_n=\text{sensibilidad al factor de }n\\\\\Nde &f_n=n^{th}\text{}el precio del factor}{\i} fin{{\i}$E(Rp)=Rf+β1f1+β2f2+…+βnfndonde:E(Rp)=Rentabilidad esperadaRf=Rentabilidad sin riesgoβn=Sensibilidad al factor de nfn=precio del factor

R_f es la rentabilidad si el activo no tuviera exposición a ningún factor, es decir, todos

$\beta_n = 0$βn=0

A diferencia del modelo de fijación de precios de los activos de capital, la teoría de fijación de precios de arbitraje no especifica los factores. Sin embargo, según las investigaciones de Stephen Ross y Richard Roll, los factores más importantes son los siguientes

• Variación de la inflación
• Cambio en el nivel de producción industrial
• Desplazamientos de las primas de riesgo
• Cambio en la forma de la estructura temporal de los tipos de interés

Según los investigadores Ross y Roll, si no se produce ninguna sorpresa en el cambio de los factores anteriores, la rentabilidad real será igual a la rentabilidad esperada. Sin embargo, en caso de que se produzcan cambios imprevistos en los factores, la rentabilidad real se definirá de la siguiente manera

$\begin{aligned} &R_p = E(R_p) + \beta_1 f’_1 + \beta_2 f’_2 + \dotso + \beta_n f’_n + e \ &\textbf{donde:}\\\Nse trata de un factor de regresión &\f’_n=&\El cambio imprevisto en el factor o el factor sorpresa es la parte residual de la rentabilidad real &\text{factor sorpresa}{end}{alineado} &e=\text{la parte residual de la rentabilidad real}\\\️ &7\% = 2\% + 3.45*f_1 + 0.033*f_2\\ &f_1= 1.43\%\\ &f_2= 2.47\%\\ &E(R_i) = 2\% + 1.43\%*\beta_1 + 2.47\%*\beta_2\\\\Nfinal {alineado}$Rp=E(Rp)+β1f1′+β2f2′+…+βnfn′+donde:fn′=El cambio no previsto del factor o factor sorpresa=La parte residual de la rentabilidad real7%=2%+3.45∗f1+0.033∗f2f1=1.43%f2=2.47%E(Ri)=2%+1.43%∗β1+2.47%∗β2

Obsérvese que f'_n es la variación no prevista del factor o factor sorpresa, e es la parte residual de la rentabilidad real.

Estimación de las sensibilidades de los factores y de las primas de los factores

Cómo podemos derivar realmente las sensibilidades de los factores? Recordemos que en el modelo de fijación de precios de los activos de capital, derivamos la beta de los activos, que mide la sensibilidad de los activos al rendimiento del mercado, simplemente haciendo una regresión de los rendimientos reales de los activos frente a los rendimientos del mercado. Derivar los factores' beta es prácticamente el mismo procedimiento.

Para ilustrar la técnica de estimación de ß_n (sensibilidad al factor n) y f_n (el enésimo precio del factor), tomemos la S&P 500 Total Return Index y el NASDAQ Composite Total Return Index como sustitutos de carteras bien diversificadas para las que deseamos encontrar ß_n y f_n. Para simplificar, supondremos que conocemos R_f (la rentabilidad sin riesgo) es un 2%. También supondremos que la rentabilidad anual esperada de las carteras es del 7% para el S&P 500 Total Return Index y el 9% para el NASDAQ Composite Total Return Index.

Paso 1: Determinar los factores sistemáticos

Tenemos que determinar los factores sistemáticos por los que se explican los rendimientos de la cartera. Supongamos que la tasa de crecimiento del producto interior bruto (PIB) real y la variación del rendimiento de los bonos del Tesoro a 10 años son los factores que necesitamos. Como hemos elegido dos índices con grandes constituyentes, podemos confiar en que nuestras carteras están bien diversificadas con un riesgo específico cercano a cero.

Paso 2: Obtener las Betas

Realizamos una regresión sobre los datos históricos trimestrales de cada índice frente a las tasas de crecimiento trimestral del PIB real y las variaciones trimestrales del rendimiento de los T-bonds. Tenga en cuenta que, dado que estos cálculos son sólo para fines ilustrativos, omitiremos los aspectos técnicos del análisis de regresión.

Estos son los resultados:

Índices (proxies de las carteras)	ß1 de la tasa de crecimiento del PIB	ß2 del cambio de rendimiento de los T-Bonds
S&P 500 Total Return Index	3.45	0.033
Índice de rendimiento total compuesto del NASDAQ	4.74	0.098

Los resultados de la regresión nos indican que ambas carteras tienen una sensibilidad mucho mayor a las tasas de crecimiento del PIB (lo que es lógico porque el crecimiento del PIB suele reflejarse en la variación del mercado de acciones) y una sensibilidad muy pequeña a la variación del rendimiento de los bonos del Tesoro (lo que también es lógico porque las acciones son menos sensibles a las variaciones del rendimiento que los bonos).

Paso 3: Obtener los precios de los factores o las primas de los factores

Ahora que hemos obtenido los factores beta (véase la tabla anterior), podemos estimar los precios de los factores (i.e., f₁ y f₂) resolviendo el siguiente conjunto de ecuaciones:

$7\% = 2\% + 3.45*f_1 + 0.033*f_2$7%=2%+3.45∗f1+0.033∗f2

$9\% = 2\% + 4.74*f_1 + 0.098*f_2$9%=2%+4.74∗f1+0.098∗f2
Resolviendo estas ecuaciones obtenemos:

$f_1= 1.43\%$f1=1.43% y

$f_2= 2.47\%$f2=2.47%

Por lo tanto, una ecuación general ex-ante ecuación de la teoría de precios de arbitraje para cualquier i cartera será la siguiente:

$E(R_i) = 2\% + 1.43\%*\beta_1 + 2.47\%*\beta_2$E(Ri)=2%+1.43%∗β1+2.47%∗β2

Aprovechar las oportunidades de arbitraje

La idea que subyace a la condición de no arbitraje es que si hay un valor con un precio erróneo en el mercado, los inversores siempre pueden construir una cartera con sensibilidades a los factores similares a las de los valores con precio erróneo y explotar la oportunidad de arbitraje.

Por ejemplo, supongamos que, además de nuestras carteras de índices, existe una cartera ABC con los datos respectivos que figuran en la siguiente tabla:

Carteras	Rendimiento esperado	ß1	ß2
S&P 500 Total Return Index	7%	3.45	0.033
Índice de rendimiento total del NASDAQ Composite	9%	4.74	0.098
Cartera ABC (o cartera de arbitraje)	8%	3.837	0.0525
Cartera combinada de índices = 0.7*S&P500+0.3*NASDAQ	7.6%	3.837	0.0525

Podemos construir una cartera a partir de las dos primeras carteras de índices (con un S&P 500 Total Return Index ponderación del 70% y NASDAQ Composite Total Return Index ponderación del 30%) con sensibilidades factoriales similares a las de la Cartera ABC, como se muestra en la última fila de la tabla. Llamemos a esto la cartera de índices combinados. La Cartera Combinada de Índices tiene las mismas betas a los factores sistemáticos que la Cartera ABC pero una menor rentabilidad esperada.

Esto implica que la cartera ABC está infravalorada. A continuación, nos pondremos en corto con la cartera de índices combinada y con esos ingresos compraremos acciones de la cartera ABC, que también se denomina cartera de arbitraje (porque aprovecha la oportunidad de arbitraje). Como todos los inversores venderían una cartera sobrevalorada y comprarían una infravalorada, esto eliminaría cualquier beneficio por arbitraje. Por eso la teoría se llama teoría de precios de arbitraje.

El resultado final 

La teoría de la fijación de precios de arbitraje, como modelo alternativo al modelo de fijación de precios de activos de capital, trata de explicar los rendimientos de los activos o carteras con factores sistemáticos y las sensibilidades de los activos/carteras a dichos factores. La teoría estima los rendimientos esperados de las carteras bien diversificadas con el supuesto subyacente de que las carteras están bien diversificadas y cualquier discrepancia con el precio de equilibrio en el mercado sería instantáneamente eliminada por los inversores. Cualquier diferencia entre la rentabilidad real y la esperada se explica por las sorpresas de los factores (diferencias entre los valores esperados y reales de los factores).

El inconveniente de la teoría de la fijación de precios de arbitraje es que no especifica los factores sistemáticos, pero los analistas pueden encontrarlos haciendo una regresión de los rendimientos históricos de la cartera frente a factores como las tasas de crecimiento del PIB real, los cambios en la inflación, los cambios en la estructura de plazos, los cambios en la prima de riesgo, etc. Las ecuaciones de regresión permiten evaluar qué factores sistemáticos explican la rentabilidad de la cartera y cuáles no.

Fuentes del artículo

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