¿Qué es el número de Euler??
El número de Euler es una expresión matemática para la base del logaritmo natural. Se suele representar con la letra e y se utiliza comúnmente en problemas relacionados con el crecimiento o la decadencia exponencial.
Otra forma de interpretar el número de Euler es como la base de una función exponencial cuyo valor es siempre igual a su derivada. En otras palabras, e es el único número posible tal que ex aumenta a un ritmo de ex para cada posible x.
Puntos clave
- El número de Euler's es una importante constante que se encuentra en muchos contextos y es la base de los logaritmos naturales.
- Un número irracional denotado por e, El número de Euler's es 2.71828…, donde los dígitos son eternos en una serie que nunca termina o se repite (similar a pi).
- El número de Euler se utiliza para todo, desde la explicación del crecimiento exponencial hasta la desintegración radiactiva.
- En finanzas, el número de Euler se utiliza para calcular cómo puede crecer la riqueza debido al interés compuesto.
Entender el número de Euler's
Aunque comúnmente se asocia con Leonhard Euler, la constante fue descubierto en 1683 por el matemático Jacob Bernoulli. Bernoulli intentaba determinar cómo crecería la riqueza si el interés se compusiera más a menudo, en lugar de anualmente.
Imagine que presta dinero a un tipo de interés del 100%, compuesto cada año. Al cabo de un año, su dinero se duplicará. Pero, ¿qué pasaría si el tipo de interés se redujera a la mitad, y se compusiera con el doble de frecuencia?? Al 50% cada seis meses, su dinero crecería un 225% en un año. A medida que el intervalo se hace más pequeño, los rendimientos totales aumentan ligeramente. Bernoulli descubrió que si se calcula el interés n veces al año, a un ritmo del 100%/n, la riqueza total acumulada al final del primer año sería ligeramente superior a 2.7 veces la inversión inicial si n es lo suficientemente grande.
Sin embargo, el trabajo clave en torno a la constante no se realizó hasta varias décadas después, por Leonhard Euler. En su Introductio in Analysin Infinitorum (1748), Euler demostró que la constante era un número irracional, cuyos dígitos nunca se repetirían. También demostró que la constante puede representarse como una suma infinita de factoriales inversos: e = 1 + 1/1 + 1/2 + 1/ (1*2*3) + 1/(1*2*3*4) + … + 1/(n!).
Euler utilizó la letra e para los exponentes, pero la letra está ahora ampliamente asociada a su nombre. Se utiliza comúnmente en una amplia gama de aplicaciones, desde el crecimiento de la población de los organismos vivos hasta la desintegración radiactiva de elementos pesados como el uranio por los científicos nucleares. También tiene aplicaciones en trigonometría, probabilidad y otras áreas de las matemáticas aplicadas.
2.71828
Los primeros dígitos del número de Euler's son 2.71828…, aunque el número en sí es una serie no terminada que se prolonga eternamente, como pi (3.1415…).
Número de Euler en las finanzas: El interés compuesto
El interés compuesto ha sido aclamado como un „milagro” de las finanzas, por el que se acreditan los intereses no sólo de las cantidades iniciales invertidas o depositadas, sino también de los intereses anteriores recibidos. El interés compuesto continuo se consigue cuando el interés se reinvierte en una unidad de tiempo infinitamente pequeña, y aunque esto es prácticamente imposible en el mundo real, este concepto es crucial para entender el comportamiento de muchos tipos de instrumentos financieros, desde los bonos hasta los contratos de derivados.
El interés compuesto de este modo es similar al crecimiento exponencial, y se expresa mediante la siguiente fórmula:
FV = (PV)e(r x t)
donde:
- FV = valor futuro
- PV = valor actual del saldo o de la suma
- e = La constante de Euler
- r = el tipo de interés que se compone
- t = la cantidad de tiempo en años
Por lo tanto, si tuviera 1.000 dólares pagando un interés del 2% con capitalización continua, al cabo de 3 años tendría:
$1,000 x 2.71828(.02 x 3) = $1,061.84
Observe que esta cantidad es mayor que si el período de capitalización fuera un período discreto, por ejemplo, mensual. En este caso, el importe de los intereses se calcularía de forma diferente: FV = PV(1+r/n)nt, donde n es el número de periodos de capitalización en un año (en este caso 12):
$1000 (1 + .02/12)12×3 = $1,061.78
En este caso, la diferencia es sólo una cuestión de unos pocos céntimos, pero a medida que nuestras sumas son mayores, los tipos de interés son más altos y el período de tiempo es más largo, la capitalización continua utilizando la constante de Euler es cada vez más valiosa en relación con la capitalización discreta.
El número de Euler (e) no debe confundirse con la constante de Euler, denominada gamma (γ) en minúscula. También conocida como la constante de Euler-Mascheroni, ésta está relacionada con las series armónicas y tiene un valor aproximado de 0.5772….
El resultado final
El número de Euler es una de las constantes más importantes de las matemáticas. Aparece con frecuencia en problemas de crecimiento o decaimiento exponencial, en los que la tasa de crecimiento es proporcional a la población existente. En finanzas, e también se utiliza en los cálculos de interés compuesto, en los que la riqueza crece a un ritmo determinado a lo largo del tiempo.
¿Por qué es importante el número de Euler??
El número de Euler aparece con frecuencia en problemas relacionados con el crecimiento o la decadencia, en los que la tasa de cambio viene determinada por el valor actual del número que se mide. Un ejemplo es la biología, donde se espera que las poblaciones bacterianas se dupliquen a intervalos fiables. Otro caso es la datación radiométrica, en la que se espera que el número de átomos radiactivos disminuya a lo largo de la vida media fija del elemento que se mide.
Cómo se utiliza el número de Euler en las finanzas?
El número de Euler aparece en problemas relacionados con el interés compuesto. Cuando una inversión ofrece un tipo de interés fijo durante un periodo de tiempo, el valor futuro de esa inversión puede calcularse fácilmente en términos de e.
Qué es exactamente el número de Euler's?
En pocas palabras, el número de Euler es la base de una función exponencial cuya tasa de crecimiento es siempre proporcional a su valor actual. La función exponencial ex siempre crece a una tasa de ex, una característica que no se da en otras bases y que simplifica enormemente el álgebra que rodea a los exponentes y logaritmos. Este número es irracional, con un valor de aproximadamente 2.71828….
Corrección: 5 de diciembre de 2021: Una versión anterior de este artículo confundía incorrectamente el número de Euler con la constante de Euler.
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