Interés compuesto continuo

El interés compuesto es un interés calculado sobre el principal inicial y también sobre los intereses acumulados de períodos anteriores de un depósito o préstamo. El efecto del interés compuesto depende de la frecuencia.

Supongamos un tipo de interés anual del 12%. Si empezamos el año con 100 dólares y componemos una sola vez, al final del año, el principal crece hasta los 112 dólares (100 x 1.12 = $112). El interés aplicado sólo al principal se denomina interés simple. Si en cambio componemos cada mes al 1%, terminamos con más de 112 dólares al final del año. Es decir, 100 dólares x 1.01^12 es igual a $112.68. (Es más alto porque hemos compuesto con más frecuencia.)

Los rendimientos continuamente compuestos son los más frecuentes. La capitalización continua es el límite matemático que puede alcanzar el interés compuesto. Es un caso extremo de interés compuesto ya que la mayoría de los intereses se componen de forma mensual, trimestral o semestral.

Puntos clave

• El interés simple se aplica sólo al principal y no a los intereses acumulados.
• El interés compuesto es el interés que se acumula sobre el principal y los intereses aplicados anteriormente.
• El efecto del interés compuesto depende de la frecuencia con la que se aplique.
• En el caso de los bonos, el rendimiento equivalente de los bonos es la rentabilidad anual esperada.
• Los rendimientos de capitalización continua se escalan a lo largo de múltiples períodos.
• Se dice que el interés que se compone en su frecuencia más alta se compone continuamente.

Tasas de rendimiento semestrales

En primer lugar, echemos un vistazo a una convención potencialmente confusa. En el mercado de bonos, nos referimos a un rendimiento equivalente a un bono (o base equivalente a un bono). Esto significa que si un bono rinde un 6% sobre una base semestral, su rendimiento equivalente a un bono es del 12%.

El rendimiento semestral es simplemente el doble. Esto es potencialmente confuso porque el rendimiento efectivo de un bono de rendimiento equivalente al 12% es del 12.36% (i.e., 1.06^2 = 1.1236). La duplicación del rendimiento semestral es sólo una convención de nomenclatura de los bonos. Por lo tanto, si leemos sobre un bono del 8% compuesto semestralmente, suponemos que se refiere a un rendimiento del 4% semestral.

Tasas de rendimiento trimestrales, mensuales y diarias

Ahora, hablemos de las frecuencias más altas. Seguimos asumiendo un tipo de interés de mercado del 12% anual. Según las convenciones de denominación de los bonos, eso implica una tasa compuesta semestral del 6%. Ahora podemos expresar la tasa compuesta trimestral en función del tipo de interés de mercado.

Dado un tipo de mercado anual (r), la tasa compuesta trimestral (r_q) está dada por:

$\N – Inicio{alineado} &r_q = 4 \left [ \left ( \frac { r }{ 2 } + 1 \right ) ^ \frac { 1 }{ 2 } – 1 \right ] \end{aligned}$​rq​=4[(2r​+1)21​−1]​

Así, para nuestro ejemplo, en el que el tipo de mercado anual es del 12%, el tipo compuesto trimestral es del 11.825%:

$\N – Inicio {alineado} &r_q = 4 \left [ \left ( \frac { 12\% }{ 2 } + 1 \right ) ^ \frac { 1 }{ 2 } – 1 \right ] \cong 11.825\% \\\\N – fin{{alineado}$​rq​=4[(212%​+1)21​−1]≅11.825%

Una lógica similar se aplica a la capitalización mensual. La tasa compuesta mensual (r_m) se da aquí en función del tipo de interés anual del mercado (r):

$\begin{aligned} r_m &= 12 \left [ \left ( \frac { r }{ 2 } + 1 \right ) ^ \frac { 1 }{ 6 } – 1 \right ] \\\\f &= 12 \left [ \left ( \frac { 12\% }{ 2 } + 1 \right ) ^ \frac { 1 }{ 6 } – 1 \right ] \left &\cong 11.71\% \\N – fin {alineado}$rm​​=12[(2r​+1)61​−1]=12[(212%​+1)61​−1]≅11.71%

La tasa compuesta diaria (d) en función del tipo de interés de mercado (r) viene dada por:

$\r_d &= 360 \left [ \left ( \frac { r }{ 2 } + 1 \right ) ^ \frac { 1 }{ 180 } } – 1 \right ] \\\\f &= 360 \left [ \left ( \frac { 12\% }{ 2 } + 1 \right ) ^ \frac { 1 }{ 180 } } – 1 \right ] \\frac &\cong 11.66\% \\N – fin {alineado}$rd​​=360[(2r​+1)1801​−1]=360[(212%​+1)1801​−1]≅11.66%

Cómo funciona la capitalización continua

Si aumentamos la frecuencia compuesta hasta su límite, estamos componiendo continuamente. Aunque esto puede no ser práctico, el tipo de interés continuamente compuesto ofrece propiedades maravillosamente convenientes. Resulta que el tipo de interés continuamente compuesto viene dado por:

$\Inicio &r_{continuo} = \ln ( 1 + r ) \ end{alineado}$rcontinuo=ln(1+r)

Con incrementos de tiempo más pequeños, la cantidad de intereses ganados es infinitamente pequeña.

Ln() es el logaritmo natural y, por tanto, en nuestro ejemplo, la tasa compuesta continua es

$\Inicio &r_{continuo} = \ln ( 1 + 0.12 ) = \ln (1.12) \cong 11.33\% \\\N – fin {alineado}$rcontinuo=ln(1+0.12)=ln(1.12)≅11.33%

Llegamos al mismo lugar tomando el logaritmo natural de este ratio: el valor final dividido por el valor inicial.

$\N – Inicio{alineado} &r_{continuo} = \ln \left ( \frac { \text{Value}_\text{End} }{ \text{Value}_\text{Start} } \right ) = \ln \left ( \frac { 112 }{ 100 } \cong 11.33\% \\N – fin{{ de}$rcontinuo=ln(ValorInicioValorFin)=ln(100112)≅11.33%

Esto último es habitual cuando se calcula la rentabilidad continuamente compuesta de una acción. Por ejemplo, si la acción salta de 10 dólares un día a 11 dólares al día siguiente, la rentabilidad diaria compuesta continuamente viene dada por:

$\Inicio &r_{continuo} = \ln \left ( \frac { \text{Value}_\text{End} }{ \text{Value}_\text{Start} \right ) = \ln \left ( \frac { $11 }{ \$10 } \right ) \cong 9.53\% \\N – fin {alineado}$rcontinuo=ln(ValorInicialValorFinal)=ln($10$11)≅9.53%

¿Qué tiene de bueno la tasa (o rendimiento) de capitalización continua que denotaremos con r_c? En primer lugar, es fácil escalar hacia adelante. Dado un capital de (P), nuestra riqueza final a lo largo de (n) años viene dada por:

$\N – Comienza.. &w = Pe ^ {r_c n} \\N – end{aligned}$w=Percn

Nótese que e es la función exponencial. Por ejemplo, si empezamos con 100 dólares y componemos continuamente al 8% durante tres años, la riqueza final viene dada por

$\Inicio &w = \$100e ^ {(0.08)(3)} = \$127.12 \\ ~ – fin {alineado}$w=$100e(0.08)(3)=$127.12

El descuento al valor presente (PV) es simplemente la capitalización a la inversa, por lo que el valor actual de un valor futuro (F) compuesto continuamente a una tasa de (r_c) está dada por:

$\…comenzar.. &\text{Valor de F recibido en (n) años} = \frac { F }{ e ^ {r_c n} } = Fe ^ {-r_c n} \end{aligned}$PV de F recibido en (n) años=ercnF=Fe-rcn

Por ejemplo, si se van a recibir 100 dólares en tres años con una tasa continua del 6%, su valor actual viene dado por

$\N – Inicio {alineado} &\text{PV} = Fe ^ {-r_c n} = ( \$100 ) e ^ { -(0.06)(3) } = \$100 e ^ { -0.18 } \cong \$83.53 \\N – fin {alineado}$PV=Fe-rcn=(100)e-(0.06)(3)=$100e-0.18≅$83.53

Escala a lo largo de varios periodos

La propiedad conveniente de los rendimientos continuamente compuestos es que se escalan a través de múltiples períodos. Si la rentabilidad del primer periodo es del 4% y la del segundo del 3%, la rentabilidad de los dos periodos es del 7%. Considere que comenzamos el año con 100 dólares, que crecen a 120 dólares al final del primer año, y luego a 150 dólares al final del segundo año. Los rendimientos de capitalización continua son, respectivamente, 18.23% y 22.31%.

$\N – Comienzo {alineado} &\ln \lizquierda ( \frac { 120 }{ 100 } \cong ) \cong 18.23\% \\N – fin {alineado}$ln(100120)≅18.23%

$\begin{aligned} &\ln \left ( \frac { 150 }{ 120 } \right ) \cong 22.31\% \\N – fin {alineado}$ln(120150)≅22.31%

Si simplemente sumamos esto, obtenemos 40.55%. Este es el rendimiento de dos períodos:

$\N – Comienzo {alineado} &\ln \lizquierda ( \frac { 150 }{ 100 } \cong derecha ) \cong 40.55\% \\N – fin {alineado}$ln(100150)≅40.55%

Desde el punto de vista técnico, el rendimiento continuo es consistente en el tiempo. La consistencia temporal es un requisito técnico para el valor en riesgo (VAR). Esto significa que si el rendimiento de un solo período es una variable aleatoria que se distribuye normalmente, queremos que las variables aleatorias de múltiples períodos también se distribuyan normalmente. Además, la rentabilidad de varios periodos con capitalización continua se distribuye normalmente (a diferencia, por ejemplo, de la rentabilidad porcentual simple).

Preguntas Frecuentes de Compuesto Continuo

Qué significa la capitalización continua?

El hecho de que se componga continuamente significa que no hay límite a la frecuencia con la que se puede componer el interés. La capitalización continua puede ocurrir un número infinito de veces, lo que significa que un saldo está ganando intereses en todo momento.

¿Significa que la capitalización continua es diaria??

Compuesto continuamente significa que el interés se compone a cada momento, incluso en el período de tiempo más pequeño cuantificable. Por lo tanto, la capitalización continua se produce con mayor frecuencia que la diaria.

Por qué se utiliza la capitalización continua?

La capitalización continua se utiliza para mostrar cuánto puede ganar un saldo cuando los intereses se acumulan constantemente. Los inversores pueden calcular cuánto esperan recibir de una inversión que gana un tipo de interés continuamente compuesto.

¿Cuál es la diferencia entre la capitalización discreta y la continua??

La capitalización discreta aplica los intereses en momentos específicos, como por ejemplo, diariamente, mensualmente, trimestralmente o anualmente. La capitalización discreta define explícitamente el momento en que se aplicarán los intereses. La capitalización continua aplica el interés de forma continua, en cada momento.

¿Cuál es la diferencia entre la capitalización anual y la continua??

Compuesto anualmente significa que el interés se aplica al principal y a los intereses acumulados previamente de forma anual; mientras que compuesto continuamente significa que el interés se aplica al principal y a los intereses acumulados en cada momento. No hay una fracción de tiempo que no se aplique el interés con la capitalización continua.

El resultado final

Podemos reformular los tipos de interés anuales en tipos de interés (o tasas de rendimiento) semestrales, trimestrales, mensuales o diarios. La capitalización más frecuente es la continua, que nos obliga a utilizar un logaritmo natural y una función exponencial, comúnmente utilizada en finanzas debido a sus deseables propiedades. La capitalización continua de los rendimientos se escala fácilmente a lo largo de múltiples períodos y es consistente en el tiempo.

Fuentes del artículo

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