Explorando la media móvil ponderada exponencialmente

La volatilidad es la medida más común del riesgo, pero tiene varios sabores. En un artículo anterior, mostramos cómo calcular la volatilidad histórica simple. En este artículo, mejoraremos la volatilidad simple y hablaremos de la media móvil ponderada exponencialmente (EWMA).

Histórica vs. Volatilidad implícita

En primer lugar, pongamos esta métrica en un poco de perspectiva. Existen dos grandes enfoques: la volatilidad histórica y la implícita. El enfoque histórico supone que el pasado es un prólogo; medimos la historia con la esperanza de que sea predictiva. La volatilidad implícita, en cambio, ignora la historia; resuelve la volatilidad implícita en los precios del mercado. Espera que el mercado sepa mejor y que el precio de mercado contenga, aunque sea implícitamente, una estimación de consenso de la volatilidad.

Si nos centramos sólo en los tres enfoques históricos (arriba a la izquierda), tienen dos pasos en común:

Calcule la serie de rendimientos periódicos

Aplicar un esquema de ponderación

En primer lugar, calculamos la rentabilidad periódica. Se trata normalmente de una serie de rendimientos diarios en los que cada rendimiento se expresa en términos compuestos continuos. Para cada día, tomamos el logaritmo natural de la relación de precios de las acciones (i.e., el precio de hoy dividido por el precio de ayer, y así sucesivamente).

$\N – Inicio &u_i = ln \frac{ s_i }{ s_{ i – 1 } \frac &\donde:} \\ &u_i = \text{Retorno en el día } i \\️ &s_i = \text{Precio de la acción en el día } i \t &s_{ i – 1 } = \text{Precio de la acción el día anterior }{ i \ end{ alineado}$ui=lnsi-1sidonde:ui=Rentabilidad en el día isi=Precio de la acción en el día isi-1=Precio de la acción el día anterior al día i

Esto produce una serie de rendimientos diarios, de u_i a u_i-m, dependiendo de cuántos días (m = días) estemos midiendo.

Esto nos lleva al segundo paso: Aquí es donde los tres enfoques difieren. En el artículo anterior, mostramos que bajo un par de simplificaciones aceptables, la varianza simple es la media de los rendimientos al cuadrado:

$\N – Inicio {alineado} &\text{Varianza} = \sigma ^ 2_n = \frac { 1 }{ m } \sum_{ i = 1 } ^ m u ^ 2_{ n – 1 } \ &\textbf{donde:} \\ &m = \text{número de días medidos} \\\\\️ &n = \text{Day} i \\t &u = \text{Diferencia de la rentabilidad respecto a la rentabilidad media} \end{alineado}$Varianza=σn2=m1i=1∑mun-12donde:m=Número de días medidosn=Día iu=Diferencia de la rentabilidad respecto a la rentabilidad media

Obsérvese que se suma cada una de las rentabilidades periódicas y luego se divide ese total por el número de días u observaciones (m). Así que, en realidad, es una media de los rendimientos periódicos al cuadrado. Dicho de otro modo, a cada rendimiento al cuadrado se le da un peso igual. Por tanto, si alfa (a) es un factor de ponderación (concretamente, a = 1/m), la varianza simple tiene este aspecto:

El EWMA mejora la varianza simple
La debilidad de este enfoque es que todos los rendimientos tienen el mismo peso. La rentabilidad de ayer (muy reciente) no influye más en la varianza que la del mes pasado. Este problema se soluciona utilizando la media móvil ponderada exponencialmente (EWMA), en la que los rendimientos más recientes tienen mayor peso en la varianza.

La media móvil ponderada exponencialmente (EWMA) introduce lambda, que se denomina parámetro de suavización. Lambda debe ser menor que uno. Con esta condición, en lugar de pesos iguales, cada rendimiento al cuadrado se pondera con un multiplicador de la siguiente manera

Por ejemplo, RiskMetricsTM_, una empresa de gestión de riesgos financieros, tiende a utilizar un lambda de 0.94, o el 94%. En este caso, el primer rendimiento periódico al cuadrado (el más reciente) se pondera con (1-0.94)(.94)0 = 6%. El siguiente rendimiento al cuadrado es simplemente un múltiplo lambda del peso anterior; en este caso el 6% multiplicado por el 94% = 5.64%. Y el peso del tercer día anterior es igual a (1-0.94)(0.94)2 = 5.30%.

Ese es el significado de "exponencial" en EWMA: cada peso es un multiplicador constante (i.e. lambda, que debe ser menor que uno) del peso del día anterior. Esto asegura una varianza ponderada o sesgada hacia los datos más recientes. La diferencia entre la volatilidad simple y el EWMA para Google se muestra a continuación.

La volatilidad simple pondera efectivamente todas y cada una de las rentabilidades periódicas en 0.196% como se muestra en la columna O (teníamos dos años de datos de precios diarios de las acciones. Esto supone 509 rendimientos diarios y 1/509 = 0.196%). Pero observe que la columna P asigna un peso de 6%, entonces 5.64%, entonces 5.3% y así sucesivamente. Esa es la única diferencia entre la varianza simple y la EWMA.

Recuerda: después de sumar toda la serie (en la columna Q) tenemos la varianza, que es el cuadrado de la desviación estándar. Si queremos volatilidad, tenemos que recordar que hay que sacar la raíz cuadrada de esa varianza.

¿Cuál es la diferencia de volatilidad diaria entre la varianza y el EWMA en el caso de Google?? Es significativa: La varianza simple nos dio una volatilidad diaria de 2.4%, pero el EWMA dio una volatilidad diaria de sólo 1.4% (véase la hoja de cálculo para más detalles). Aparentemente, la volatilidad de Google's se ha estabilizado más recientemente; por lo tanto, una varianza simple podría ser artificialmente alta.

La varianza de hoy es una función de la varianza del día anterior

Usted'notará que necesitamos calcular una larga serie de pesos exponencialmente decrecientes. No haremos los cálculos aquí, pero una de las mejores características del EWMA es que toda la serie se reduce convenientemente a una fórmula recursiva:

$\N – Inicio {alineado} &\sigma ^ 2_n (\text{EWMA}) = \lambda \2_{n – 1} + (1 – \lambda) u ^ 2_{ n – 1 } \ &\textbf{donde:} \\ &\text{EWMA} = \text{Promedio móvil ponderado exponencialmente} \\\text &\sigma ^ 2_n = \texto{Varianza hoy} \\\N – &\lambda = \text{Grado de ponderación} \\l &\sigma ^ 2_{n – 1} = \text{Varianza de ayer} \\sigma &u ^ 2_{n – 1} = \text{retorno al cuadrado ayer} \\ end{alineado}$σn2(EWMA)=λσn-12+(1-λ)un-12donde:EWMA=Promedio móvil ponderado exponencialmenteσn2=Varianza hoyλ=Grado de ponderaciónσn-12=Varianza ayerun-12=Renta cuadrada ayer

Recursiva significa que las referencias de la varianza de hoy (i.e. es una función de) la varianza del día anterior's. Usted puede encontrar esta fórmula en la hoja de cálculo también, y produce exactamente el mismo resultado que el cálculo a mano! Dice: la varianza de hoy (bajo EWMA) es igual a la varianza de ayer (ponderada por lambda) más la rentabilidad al cuadrado de ayer (ponderada por uno menos lambda). Observe que sólo estamos sumando dos términos: la varianza ponderada de ayer y el rendimiento ponderado al cuadrado de ayer.

Aun así, lambda es nuestro parámetro de suavización. Una lambda más alta (e.g., como RiskMetric's 94%) indica un decaimiento más lento en la serie – en términos relativos, vamos a tener más puntos de datos en la serie y van a "caer" más lentamente. En cambio, si reducimos la lambda, indicamos un mayor decaimiento: las ponderaciones caen más rápidamente y, como consecuencia directa del rápido decaimiento, se utilizan menos puntos de datos. (En la hoja de cálculo, lambda es una entrada, por lo que se puede experimentar con su sensibilidad).

Resumen

La volatilidad es la desviación estándar instantánea de una acción y la métrica de riesgo más común. También es la raíz cuadrada de la varianza. Podemos medir la varianza de forma histórica o implícita (volatilidad implícita). Al medir históricamente, el método más fácil es una simple varianza. Pero la debilidad de la varianza simple es que todos los rendimientos tienen el mismo peso. Por tanto, nos enfrentamos a una disyuntiva clásica: siempre queremos más datos, pero cuantos más datos tenemos, más se diluye nuestro cálculo con datos distantes (menos relevantes). La media móvil ponderada exponencialmente (EWMA) mejora la varianza simple asignando pesos a los rendimientos periódicos. De este modo, podemos utilizar una muestra de gran tamaño pero también dar mayor peso a los rendimientos más recientes.

Fuentes del artículo

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