Duración y convexidad para medir el riesgo de los bonos

Qué son la duración y la convexidad?

La duración y la convexidad son dos herramientas utilizadas para gestionar la exposición al riesgo de las inversiones de renta fija. La duración mide la sensibilidad del bono a las variaciones de los tipos de interés. La convexidad se refiere a la interacción entre el precio de un bono y su rendimiento cuando experimenta cambios en los tipos de interés.

Con los bonos con cupón, los inversores se basan en una métrica conocida como duración para medir la sensibilidad del precio de un bono a los cambios en los tipos de interés. Dado que un bono con cupón realiza una serie de pagos a lo largo de su vida, los inversores en renta fija necesitan formas de medir el vencimiento medio del flujo de caja prometido de un bono, para que sirva como estadística resumida del vencimiento efectivo del bono. La duración lo consigue, permitiendo a los inversores en renta fija calibrar más eficazmente la incertidumbre a la hora de gestionar sus carteras.

Puntos clave

• En el caso de los bonos con cupón, los inversores se basan en una métrica conocida como „duración” para medir la sensibilidad del precio de un bono a las variaciones de los tipos de interés.
• Utilizando una herramienta de gestión de la brecha, los bancos pueden equiparar las duraciones de los activos y los pasivos, inmunizando eficazmente su posición global de los movimientos de los tipos de interés.

Duración de un bono

En 1938, el economista canadiense Frederick Robertson Macaulay denominó el concepto de vencimiento efectivo como „duración” del bono. Para ello, sugirió que esta duración se calculara como la media ponderada de los plazos de vencimiento de cada cupón, o pago del principal, realizado por el bono. La fórmula de duración de Macaulay es la siguiente

$\Inicio &D = \frac{{suma_{i=1}^T{{frac{t*C}{{izquierda( 1+r \ derecha)^t } } + \frac{T*F}{Izquierda( 1+r \right)^t} } \sum_{i=1}^T{{{refrac{C}}{Izquierda( 1+r \right)^t } } + \frac{F}{Izquierda( 1+r ^derecha)^t} \textbf{donde:} &D = \text{La duración de MacAulay del bono}\\\️ &T = \text{el número de periodos hasta el vencimiento}\\\️ &i = \text{el } i^{th} \text{período de tiempo}\\\️ &C = \text{el pago periódico del cupón}\\️ &r = \text{el rendimiento periódico hasta el vencimiento}\\\️ &F = \texto{el valor nominal al vencimiento}\\\final{alineado}$donde:D=∑i=1T(1+r)tC+(1+r)tF∑i=1T(1+r)tt∗C+(1+r)tT∗FD=La duración MacAulay del bonoT=el número de periodos hasta el vencimientoi=el i-ésimo periodo de tiempoC=el pago periódico del cupónr=el rendimiento periódico al vencimientoF=el valor nominal al vencimiento

La duración en la gestión de la renta fija

La duración es fundamental para la gestión de las carteras de renta fija, por las siguientes razones:

Es una simple estadística de resumen del vencimiento medio efectivo de una cartera.

Es una herramienta esencial para inmunizar las carteras contra el riesgo de tipos de interés.

Estima la sensibilidad al tipo de interés de una cartera.

La métrica de la duración tiene las siguientes propiedades:

• La duración de un bono de cupón cero es igual al tiempo de vencimiento.
• Manteniendo el vencimiento constante, la duración de un bono es menor cuando el tipo de cupón es más alto, debido al impacto de los pagos de cupones tempranos más altos.
• Manteniendo el tipo de cupón constante, la duración de un bono generalmente aumenta con el tiempo hasta el vencimiento. Pero hay excepciones, como en el caso de instrumentos como los bonos de gran descuento, en los que la duración puede disminuir al aumentar los plazos de vencimiento.
• Manteniendo otros factores constantes, la duración de los bonos con cupón es mayor cuando los rendimientos hasta el vencimiento de los bonos son menores. Sin embargo, para los bonos de cupón cero, la duración es igual al tiempo hasta el vencimiento, independientemente del rendimiento hasta el vencimiento.
• La duración de la perpetuidad nivelada es (1 + y) / y. Por ejemplo, con un rendimiento del 10%, la duración de la perpetuidad que paga 100 dólares anuales será igual a 1.10 / .10 = 11 años. Sin embargo, con un rendimiento del 8%, será igual a 1.08 / .08 = 13.5 años. Este principio hace evidente que el vencimiento y la duración pueden diferir mucho. Un ejemplo: el vencimiento de la perpetuidad es infinito, mientras que la duración del instrumento con un rendimiento del 10% es de sólo 11 años. El flujo de caja ponderado por el valor actual al principio de la vida de la perpetuidad domina el cálculo de la duración.

Duración para la gestión de la brecha

Muchos bancos presentan desajustes entre los vencimientos de los activos y los pasivos. Los pasivos bancarios, que son principalmente los depósitos que se deben a los clientes, son generalmente de naturaleza a corto plazo, con estadísticas de baja duración. Por el contrario, los activos de un banco comprenden principalmente los préstamos comerciales y al consumo o las hipotecas pendientes. Estos activos tienden a ser de mayor duración, y sus valores son más sensibles a las fluctuaciones de los tipos de interés. En periodos en los que los tipos de interés se disparan de forma inesperada, los bancos pueden sufrir drásticas disminuciones de su patrimonio neto, si el valor de sus activos cae más que el de sus pasivos.

Una técnica llamada gestión de la brecha es una herramienta de gestión del riesgo muy utilizada, en la que los bancos intentan limitar la „brecha” entre las duraciones de los activos y los pasivos. La gestión de la brecha se basa en gran medida en las hipotecas de tipo variable (ARM), como componentes clave para reducir la duración de las carteras de activos bancarios. A diferencia de las hipotecas convencionales, los ARM no pierden valor cuando aumentan los tipos de mercado, porque los tipos que pagan están vinculados al tipo de interés vigente.

En el otro lado del balance, la introducción de certificados de depósito bancarios a más largo plazo (CD) con plazos fijos hasta el vencimiento, sirven para alargar la duración de los pasivos bancarios, contribuyendo igualmente a la reducción de la brecha de duración.

Cómo entender la gestión de la brecha

Los bancos emplean la gestión de la brecha para equiparar las duraciones de los activos y los pasivos, inmunizando de hecho su posición global de los movimientos de los tipos de interés. En teoría, el activo y el pasivo de un banco son aproximadamente iguales en tamaño. Por lo tanto, si sus duraciones también son iguales, cualquier cambio en los tipos de interés afectará al valor de los activos y los pasivos en la misma medida, y los cambios en los tipos de interés tendrán, por lo tanto, poco o ningún efecto final en el patrimonio neto. Por lo tanto, la inmunización del patrimonio neto requiere una duración de la cartera, o brecha, de cero.

Las instituciones con obligaciones fijas futuras, como los fondos de pensiones y las compañías de seguros, difieren de los bancos en que operan con la vista puesta en los compromisos futuros. Por ejemplo, los fondos de pensiones están obligados a mantener fondos suficientes para proporcionar a los trabajadores un flujo de ingresos al jubilarse. Como los tipos de interés fluctúan, también lo hace el valor de los activos que posee el fondo y el ritmo al que esos activos generan ingresos. Por lo tanto, los gestores de carteras pueden desear proteger (inmunizar) el valor acumulado futuro del fondo en alguna fecha objetivo, contra los movimientos de los tipos de interés. En otras palabras, la inmunización salvaguarda los activos y pasivos de duración ajustada, de modo que un banco puede cumplir sus obligaciones, independientemente de los movimientos de los tipos de interés.

Convexidad en la gestión de la renta fija

Lamentablemente, la duración tiene limitaciones cuando se utiliza como medida de la sensibilidad a los tipos de interés. Aunque el estadístico calcula una relación lineal entre las variaciones del precio y el rendimiento de los bonos, en realidad, la relación entre las variaciones del precio y el rendimiento es convexa.

En la imagen siguiente, la línea curva representa la variación de los precios, dada una variación de los rendimientos. La línea recta, tangente a la curva, representa el cambio estimado en el precio, a través de la estadística de la duración. La zona sombreada revela la diferencia entre la estimación de la duración y el movimiento real de los precios. Como se ha indicado, cuanto mayor sea la variación de los tipos de interés, mayor será el error en la estimación de la variación del precio del bono.

La convexidad, una medida de la curvatura de los cambios en el precio de un bono, en relación con los cambios en los tipos de interés, aborda este error, midiendo el cambio en la duración, ya que los tipos de interés fluctúan. La fórmula es la siguiente:

$\begin {alineado} &C = \frac{d^2\left(B\left(r \right )\right)}{B*d*r^2} \frac &\textbf{donde:}\\\\\\\️ &C = \text{convexidad}\\\Nde los fondos de pensiones &B = \text{el precio de los bonos}\\\\n &r = \text{el tipo de interés}\\\\️ &d = \texto{duración}\\\final{alineado}$C=B∗d∗r2d2(B(r))donde:C=convexidadB=el precio del bono=el tipo de interés=la duración

En general, cuanto mayor sea el cupón, menor será la convexidad, porque un bono del 5% es más sensible a las variaciones de los tipos de interés que un bono del 10%. Debido a la característica de compra, los bonos rescatables mostrarán convexidad negativa si los rendimientos caen demasiado, lo que significa que la duración disminuirá cuando los rendimientos disminuyan. Los bonos de cupón cero tienen la mayor convexidad, donde las relaciones sólo son válidas cuando los bonos comparados tienen la misma duración y rendimientos al vencimiento. En concreto: un bono de alta convexidad es más sensible a las variaciones de los tipos de interés y, por lo tanto, debería experimentar mayores fluctuaciones en el precio cuando los tipos de interés se mueven.

Lo contrario ocurre con los bonos de baja convexidad, cuyos precios no fluctúan tanto cuando cambian los tipos de interés. Cuando se representa gráficamente en un gráfico bidimensional, esta relación debería generar una forma de U de pendiente larga (de ahí el término „convexo”).

Los bonos de cupón bajo y de cupón cero, que suelen tener rendimientos más bajos, muestran la mayor volatilidad de los tipos de interés. En términos técnicos, esto significa que la duración modificada del bono requiere un mayor ajuste para seguir el ritmo de la mayor variación del precio tras los movimientos de los tipos de interés. Los tipos de interés más bajos conducen a rendimientos más bajos, y los rendimientos más bajos conducen a mayores grados de convexidad.

El resultado final

Los tipos de interés siempre cambiantes introducen incertidumbre en la inversión en renta fija. La duración y la convexidad permiten a los inversores cuantificar esta incertidumbre, ayudándoles a gestionar sus carteras de renta fija.

Fuentes del artículo

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