Duración de Macaulay

Qué es la duración de Macaulay?

La duración de Macaulay es el plazo medio ponderado hasta el vencimiento de los flujos de caja de un bono. El peso de cada flujo de caja se determina dividiendo el valor actual del flujo de caja por el precio. La duración de Macaulay es utilizada frecuentemente por los gestores de carteras que utilizan una estrategia de inmunización.

La duración de Macaulay se puede calcular de la siguiente manera

Duración de Macaulay = t = 1 n ( t × C ( 1 + y ) t + n × M ( 1 + y ) n ) Precio actual del bono donde: t = período de tiempo respectivo C = pago periódico del cupón y = rendimiento periódico n = número total de períodos M = valor de vencimiento Precio actual del bono = valor actual de los flujos de caja \N – Inicio {alineado} &\text{Duración de Macaulay} = \frac{{suma_{t = 1} ^ {n} \left ( \frac{ t \times C }{ (1 + y) ^ t } + \frac{ n \times M }{ (1 + y) ^ n } \right ) }{{text{Precio actual de los bonos}} \text &\textbf{en el lugar:} \\ &t = \texto{período de tiempo futuro} \\\\c &C = \text{pago periódico del cupón} \\\\\️ &y = \text{rendimiento periódico} \text &n = \text{número total de periodos} \\t &M = \texto{valor de vencimiento} \texto{valor de vencimiento} &\text{Precio actual de los bonos} = \text{valor actual de los flujos de caja} \end{alineado} Duración Macaulay=Precio actual del bono∑t=1n((1+y)tt×C+(1+y)nn×M)donde:t=período de tiempo respectivoC=pago periódico del cupóny=rendimiento periódicon=número total de períodosM=valor de vencimientoPrecio actual del bono=valor actual de los flujos de caja

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Duración de Macaulay

Comprender la duración de Macaulay

La métrica lleva el nombre de su creador, Frederick Macaulay. La duración de Macaulay puede verse como el punto de equilibrio económico de un grupo de flujos de caja. Otra forma de interpretar la estadística es que se trata del número medio ponderado de años que un inversor debe mantener una posición en el bono hasta que el valor actual de los flujos de caja del bono sea igual a la cantidad pagada por el bono.

Factores que afectan a la duración

El precio, el vencimiento, el cupón y el rendimiento al vencimiento de un bono son factores que intervienen en el cálculo de la duración. En igualdad de condiciones, la duración aumenta a medida que aumenta el vencimiento. A medida que el cupón de un bono aumenta, su duración disminuye. A medida que los tipos de interés aumentan, la duración disminuye y la sensibilidad del bono a nuevas subidas de los tipos de interés se reduce. Además, la existencia de un fondo de amortización, un pago anticipado programado antes del vencimiento y las cláusulas de rescate reducen la duración de un bono.

Ejemplo de cálculo

El cálculo de la duración de Macaulay es sencillo. Supongamos que un bono de 1.000 dólares de valor nominal paga un cupón del 6% y vence en tres años. Los tipos de interés son del 6% anual, con capitalización semestral. El bono paga el cupón dos veces al año y paga el principal en el último pago. Teniendo en cuenta esto, se esperan los siguientes flujos de caja en los próximos tres años:

Período 1 : $ 30 Período 2 : $ 30 Período 3 : $ 30 Período 4 : $ 30 Período 5 : $ 30 Período 6 : $ 1 , 030 \begin{aligned} &\text{Período 1}: \$30 \\ &\Texto del período 2: \$30 \\ &\text{Período 3}: \$30 \\ &\text{período 4}: \$30 \\ &\text{Período 5}: \$30 \\ &\text{Período 6}: \1.030 dólares Período 1:$30Período 2:$30Período 3:$30Período 4:$30Período 5:$30Período 6:$1,030

Conocidos los períodos y los flujos de caja, hay que calcular un factor de descuento para cada período. Se calcula como 1 ÷ (1 + r)n, donde r es el tipo de interés y n es el número de período en cuestión. El tipo de interés, r, compuesto semestralmente es 6% ÷ 2 = 3%. Por lo tanto, los factores de descuento serían:

Factor de descuento del periodo 1 : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 1 = 0.9709 Factor de descuento del período 2 : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 2 = 0.9426 Período 3 Factor de descuento : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 3 = 0.9151 Período 4 Factor de descuento : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 4 = 0.8885 Período 5 Factor de descuento : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 5 = 0.8626 Período 6 Factor de descuento : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 6 = 0.8375 \begin{aligned} &\text{Factor de descuento del periodo 1}: 1 \div ( 1 + .03 ) ^ 1 = 0.9709 \\ &\text{Factor de descuento del periodo 2}: 1 \div ( 1 + .03 ) ^ 2 = 0.9426 \\ &\text{Período 3 Factor de Descuento}: 1 \div ( 1 + .03 ) ^ 3 = 0.9151 \\ &\text{Factor de descuento del periodo 4}: 1 \div ( 1 + .03 ) ^ 4 = 0.8885 \\ &\text{Factor de descuento del periodo 5}: 1 \div ( 1 + .03 ) ^ 5 = 0.8626 \\ &\text{Factor de descuento del periodo 6}: 1 \div ( 1 + .03 ) ^ 6 = 0.8375 \\N – fin{alineado} Periodo 1 Factor de descuento:1÷(1+.03)1=0.9709Período 2 Factor de descuento:1÷(1+.03)2=0.9426Período 3 Factor de descuento:1÷(1+.03)3=0.9151Período 4 Factor de descuento:1÷(1+.03)4=0.8885Período 5 Factor de descuento:1÷(1+.03)5=0.8626Período 6 Factor de descuento:1÷(1+.03)6=0.8375

A continuación, multiplique el flujo de caja del período por el número del período y por su correspondiente factor de descuento para encontrar el valor actual del flujo de caja:

Periodo 1 : 1 × $ 30 × 0.9709 = $ 29.13 Período 2 : 2 × $ 30 × 0.9426 = $ 56.56 Período 3 : 3 × $ 30 × 0.9151 = $ 82.36 Período 4 : 4 × $ 30 × 0.8885 = $ 106.62 Período 5 : 5 ×

30 × 0.8626 = $ 129.39 Período 6 : 6 × $ 1 , 030 × 0.8375 = $ 5 , 175.65 Período = 1 6 = $ 5 , 579.71 = numerador \N – comienzo {alineado} &\text{Período 1}: 1 \Nveces \N30$ \N – 0.9709 = \$29.13 \\ &\text{Período 2}: 2 veces $30 veces 0.9426 = \$56.56 \\ &\text{Período 3}: 3 \N – 30 \N – 0.9151 = \$82.36 \\ &\text{Período 4}: 4 \N – 30 \N – 0.8885 = \$106.62 \\ &\N – Texto {Período 5}: 5 \N – 30 \N – 0.8626 = \$129.39 \\ &\text{Período 6}: 6 \N – 1.030 \N – 0.8375 = \$5,175.65 \\ &\N – suma_{periodo} = 1} ^ {6} = \$5,579.71 = \text{numerador} \ end{alineado} Período 1:1×30×0.9709=$29.13Período 2:2×$30×0.9426=$56.56Período 3:3×30×0.9151=$82.36Período 4:4×$30×0.8885=$106.62Período 5:5×$30×0.8626=$129.39Período 6:6×1.030$×0.8375=$5,175.65 Período =1∑6=$5,579.71=numerador

Precio actual de los bonos = Flujos de caja PV = 1 6 Precio actual de los bonos = 30 ÷ ( 1 + . 03 ) 1 + 30 ÷ ( 1 + . 03 ) 2 Precio actual de los bonos = + + 1030 ÷ ( 1 + . 03 ) 6 Precio actual de los bonos = $ 1 , 000 Precio actual del bono = denominador \N – Inicio{alineado} &\text{Precio Actual de los Bonos} = \sum_{text{Flujos de Caja PV}{1} ^ {6} \\fantom{{{text{Precio Actual de los Bonos}{} &\phantom{ \text{Precio actual de los bonos} } = 30 \div ( 1 + .03 ) ^ 1 + 30 \Ndiv ( 1 + .03 ) ^ 2 \\ &\Precio actual de los bonos = + puntos de venta + 1030 puntos de venta (1) + .03 ) ^ 6 \\ &\phantom{ \text{Precio actual de los bonos} } = \$1,000 \\$ &\phantom{ \text{Current Bond Price} } = \text{denominator} \end{aligned} Precio actual del bono= PV Flujos de caja =1∑6Precio actual del bono=30÷(1+.03)1+30÷(1+.03)2Precio actual de los bonos=+⋯+1030÷(1+.03)6Precio actual del bono=1.000$Precio actual del bono=denominador

(Obsérvese que como el tipo de cupón y el tipo de interés son iguales, el bono se negociará a la par.)

Duración de Macaulay = $ 5 , 579.71 ÷ $ 1 , 000 = 5.58 \N – Inicio {alineado} &\text{Duración Macaulay} = \$5,579.71 \div \$1.000 = 5.58 \N – fin {alineado} Duración de Macaulay=5.579 dólares.71÷$1,000=5.58

Un bono que paga un cupón siempre tendrá una duración inferior a su tiempo de vencimiento. En el ejemplo anterior, la duración de 5.58 medios años es menos que el tiempo hasta el vencimiento de seis medios años. En otras palabras, 5.58 ÷ 2 = 2.79 años, es decir, menos de tres años.

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