Definición del teorema de Bayes

Qué es el teorema de Bayes?

El teorema de Bayes, llamado así por el matemático británico del siglo XVIII Thomas Bayes, es una fórmula matemática para determinar la probabilidad condicional. La probabilidad condicional es la probabilidad de que se produzca un resultado, en función de que se produzca un resultado anterior. El teorema de Bayes permite revisar las predicciones o teorías existentes (actualizar las probabilidades) a partir de pruebas nuevas o adicionales. En finanzas, el teorema de Bayes puede utilizarse para evaluar el riesgo de prestar dinero a posibles prestatarios. El teorema de Bayes también se denomina Regla de Bayes o Ley de Bayes y es el fundamento del campo de la estadística bayesiana.

Puntos clave

  • El teorema de Bayes permite actualizar las probabilidades predichas de un suceso incorporando nueva información.
  • El teorema de Bayes debe su nombre al matemático del siglo XVIII Thomas Bayes.
  • Suele emplearse en finanzas para actualizar la evaluación del riesgo.

Entender el teorema de Bayes

Las aplicaciones del teorema están muy extendidas y no se limitan al ámbito financiero. Por ejemplo, el teorema de Bayes puede utilizarse para determinar la precisión de los resultados de las pruebas médicas teniendo en cuenta la probabilidad de que una persona determinada padezca una enfermedad y la precisión general de la prueba. El teorema de Bayes se basa en la incorporación de distribuciones de probabilidad previas para generar probabilidades posteriores.

La probabilidad previa, en la inferencia estadística bayesiana, es la probabilidad de un evento antes de que se recojan nuevos datos. Es la mejor evaluación racional de la probabilidad de un resultado basada en el conocimiento actual antes de realizar un experimento. La probabilidad posterior es la probabilidad revisada de que ocurra un evento después de tener en cuenta la nueva información. La probabilidad posterior se calcula actualizando la probabilidad anterior mediante el teorema de Bayes. En términos estadísticos, la probabilidad posterior es la probabilidad de que se produzca el suceso A si se ha producido el suceso B.

El teorema de Bayes proporciona la probabilidad de un evento basado en nueva información que está, o puede estar, relacionada con ese evento. La fórmula también puede utilizarse para ver cómo afecta a la probabilidad de que se produzca un acontecimiento la nueva información hipotética, suponiendo que ésta resulte ser cierta. Por ejemplo, digamos que se extrae una sola carta de una baraja completa de 52 cartas.

La probabilidad de que la carta sea un rey es cuatro dividida por 52, lo que equivale a 1/13 o aproximadamente 7.69%. Recuerda que hay cuatro reyes en la baraja. Ahora, supongamos que se revela que la carta seleccionada es una carta cara. La probabilidad de que la carta seleccionada sea un rey, dado que se trata de una carta con cara, es cuatro dividido por 12, o aproximadamente el 33.3%, ya que hay 12 cartas de cara en una baraja.

Fórmula para Bayes' Teorema

P ( A B ) = P ( A B ) P ( B ) = P ( A ) P ( B A ) P ( B ) donde: P ( A ) = La probabilidad de que ocurra A P ( B ) = La probabilidad de que B ocurra P ( A B ) = La probabilidad de A dada B P ( B A ) = La probabilidad de B dada A P ( A B ) ) = La probabilidad de que ocurran tanto A como B \begin{aligned} &P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\bigcap{B}\right)}{P\left(B\right)}=\frac{P\left(A\right)\cdot{P\left(B|A\\right)}{P\left(B\right)}\cdot} &\textbf{donde:}\\a &P\left(A\right)=\text{ La probabilidad de que A se produzca}\\\\N &P\left(B\right)=\text{ La probabilidad de que B ocurra}\\\\️ &P\left(A|B\right)=\texto{La probabilidad de A dada B}\\\c &P\left(B|A\right)=\texto{La probabilidad de B dada A}\\\c &P\left(A\bigcap{B}\right))=\text{ La probabilidad de que ocurran tanto A como B}\ end{aligned} P(A∣B)=P(B)P(A⋂B)=P(B)P(A)⋅P(B∣A)donde:P(A)= La probabilidad de que ocurra AP(B)= La probabilidad de que ocurra BP(A∣B)= La probabilidad de que ocurra A dada BP(B∣A)= La probabilidad de que ocurra B dada AP(A⋂B))= La probabilidad de que ocurran tanto A como B

Ejemplos del teorema de Bayes

A continuación se presentan dos ejemplos del teorema de Bayes en los que el primer ejemplo muestra cómo se puede derivar la fórmula en un ejemplo de inversión en acciones utilizando Amazon.com Inc. (AMZN). El segundo ejemplo aplica el teorema de Bayes a las pruebas de medicamentos farmacéuticos.

Derivación de la fórmula del teorema de Bayes

El teorema de Bayes se deduce simplemente de los axiomas de la probabilidad condicional. La probabilidad condicional es la probabilidad de un suceso dado que ha ocurrido otro suceso. Por ejemplo, una pregunta simple de probabilidad puede preguntar: „¿Cuál es la probabilidad de que Amazon.caída de la cotización de las acciones de com?” La probabilidad condicional lleva esta pregunta un paso más allá preguntando: „¿Cuál es la probabilidad de que el precio de las acciones de AMZN caiga dado que el índice Dow Jones Industrial Average (DJIA) cayó antes?”

La probabilidad condicional de A dado que ha ocurrido B puede expresarse como

Si A es: "El precio de AMZN cae" entonces P(AMZN) es la probabilidad de que AMZN caiga; y B es: "El DJIA ya ha bajado," y P(DJIA) es la probabilidad de que el DJIA caiga; entonces la expresión de probabilidad condicional se lee como "la probabilidad de que AMZN caiga dado un descenso del DJIA es igual a la probabilidad de que el precio de AMZN caiga y el DJIA caiga sobre la probabilidad de un descenso del índice DJIA.

P(AMZN|DJIA) = P(AMZN y DJIA) / P(DJIA)

P(AMZN y DJIA) es la probabilidad de ambos A y que B ocurra. Esto también es lo mismo que la probabilidad de que ocurra A multiplicada por la probabilidad de que ocurra B dado que ocurre A, expresada como P(AMZN) x P(DJIA|AMZN). El hecho de que estas dos expresiones sean iguales conduce al teorema de Bayes, que se escribe como

si, P(AMZN y DJIA) = P(AMZN) x P(DJIA|AMZN) = P(DJIA) x P(AMZN|DJIA)

entonces, P(AMZN|DJIA) = [P(AMZN) x P(DJIA|AMZN)] / P(DJIA).

Donde P(AMZN) y P(DJIA) son las probabilidades de que Amazon y el Dow Jones caigan, sin tener en cuenta a los demás.

La fórmula explica la relación entre la probabilidad de la hipótesis antes de ver la evidencia que P(AMZN), y la probabilidad de la hipótesis después de obtener la evidencia P(AMZN|DJIA), dada una hipótesis para Amazon dada la evidencia en el Dow.

Ejemplo numérico del teorema de Bayes

Como ejemplo numérico, imaginemos que hay un test de drogas que tiene una precisión del 98%, es decir, que el 98% de las veces da un resultado positivo verdadero para alguien que consume la droga y el 98% de las veces da un resultado negativo verdadero para los que no la consumen.

A continuación, suponga 0.5% de las personas consumen la droga. Si una persona seleccionada al azar da positivo en la prueba de la droga, se puede hacer el siguiente cálculo para determinar la probabilidad de que la persona sea realmente un consumidor de la droga.

(0.98 x 0.005) / [(0.98 x 0.005) + ((1 – 0.98) x (1 – 0.005))] = 0.0049 / (0.0049 + 0.0199) = 19.76%

El teorema de Bayes muestra que, aunque una persona diera positivo en este escenario, hay aproximadamente un 80% de posibilidades de que no tome la droga.

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