Definición del modelo Black-Scholes

Qué es el modelo Black-Scholes?

El modelo Black-Scholes, también conocido como modelo Black-Scholes-Merton (BSM), es uno de los conceptos más importantes de la teoría financiera moderna. Esta ecuación matemática estima el valor teórico de los derivados otros instrumentos de inversión, teniendo en cuenta el impacto del tiempo y otros factores de riesgo. Desarrollado en 1973, todavía se considera uno de los mejores métodos para fijar el precio de un contrato de opciones.

Puntos clave

  • El modelo Black-Scholes, también conocido como modelo Black-Scholes-Merton (BSM), es una ecuación diferencial ampliamente utilizada para valorar los contratos de opciones.
  • El modelo Black-Scholes requiere cinco variables de entrada: el precio de ejercicio de una opción, el precio actual de las acciones, el tiempo hasta el vencimiento, la tasa libre de riesgo y la volatilidad.
  • Aunque suele ser preciso, el modelo Black-Scholes hace ciertas suposiciones que pueden conducir a precios que se desvían de los resultados del mundo real.
  • El modelo BSM estándar sólo se utiliza para valorar las opciones europeas, ya que no tiene en cuenta que las opciones americanas podrían ejercerse antes de la fecha de vencimiento.

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Modelo Black-Scholes

Historia del modelo Black-Scholes

Desarrollado en 1973 por Fischer Black, Robert Merton y Myron Scholes, el modelo Black-Scholes fue el primer método matemático ampliamente utilizado para calcular el valor teórico de un contrato de opciones, utilizando los precios actuales de las acciones, los dividendos esperados, el precio de ejercicio de la opción, los tipos de interés esperados, el tiempo hasta el vencimiento y la volatilidad esperada.

La ecuación inicial se introdujo en el documento de Black y Scholes de 1973, "The Pricing of Options and Corporate Liabilities," publicado en el Revista de Economía Política. Robert C. Merton ayudó a editar ese documento. Ese mismo año, publicó su propio artículo, "Theory of Rational Option Pricing," en The Bell Journal of Economics and Management Science, ampliando la comprensión matemática y las aplicaciones del modelo, y acuñando el término "Teoría Black-Scholes de la valoración de opciones."

En 1997, Scholes y Merton fueron galardonados con el Premio Nobel de Ciencias Económicas por su trabajo al encontrar "un nuevo método para determinar el valor de los derivados.Black había fallecido dos años antes, por lo que no pudo ser galardonado, ya que los premios Nobel no se conceden a título póstumo; sin embargo, el comité del Nobel reconoció su papel en el modelo Black-Scholes.

Cómo funciona el modelo Black-Scholes

Black-Scholes postula que los instrumentos, como las acciones o los contratos de futuros, tendrán una distribución lognormal de los precios siguiendo un paseo aleatorio con deriva y volatilidad constantes. Utilizando este supuesto y teniendo en cuenta otras variables importantes, la ecuación deriva el precio de una opción de compra de tipo europeo.

La ecuación de Black-Scholes requiere cinco variables. Estos datos son la volatilidad, el precio del activo subyacente, el precio de ejercicio de la opción, el tiempo hasta el vencimiento de la opción y el tipo de interés sin riesgo. Con estas variables, es teóricamente posible que los vendedores de opciones fijen precios racionales para las opciones que venden.

Además, el modelo predice que el precio de los activos muy negociados sigue un movimiento browniano geométrico con deriva y volatilidad constantes. Cuando se aplica a una opción sobre acciones, el modelo incorpora la variación constante del precio de la acción, el valor temporal del dinero, el precio de ejercicio de la opción y el tiempo hasta el vencimiento de la opción.

Supuestos de Black-Scholes

El modelo Black-Scholes hace ciertas suposiciones:

  • No se pagan dividendos durante la vida de la opción.
  • Los mercados son aleatorios (i.e., no se pueden predecir los movimientos del mercado).
  • No hay costes de transacción en la compra de la opción.
  • El tipo libre de riesgo y la volatilidad del activo subyacente son conocidos y constantes.
  • Los rendimientos del activo subyacente se distribuyen de forma log-normal.
  • La opción es europea y sólo puede ejercerse al vencimiento.

Alternativamente, para la fijación de precios de las opciones de tipo americano más comúnmente negociadas, las empresas utilizarán un modelo binomial o trinomial o el modelo Bjerksund-Stensland.

Aunque el modelo original de Black-Scholes no consideraba los efectos de los dividendos pagados durante la vida de la opción, el modelo se adapta con frecuencia para tener en cuenta los dividendos determinando el valor ex-dividendo de la acción subyacente. El modelo también es modificado por muchos creadores de mercado de venta de opciones para tener en cuenta el efecto de las opciones que pueden ejercerse antes del vencimiento.

La fórmula del modelo Black-Scholes

Las matemáticas de la fórmula son complicadas y pueden resultar intimidantes. Afortunadamente, no es necesario saber o incluso entender las matemáticas para utilizar el modelo Black-Scholes en sus propias estrategias. Los operadores de opciones tienen acceso a una gran variedad de calculadoras de opciones en línea, y muchas de las plataformas de negociación actuales cuentan con sólidas herramientas de análisis de opciones, que incluyen indicadores y hojas de cálculo que realizan los cálculos y producen los valores de fijación de precios de las opciones.

La fórmula de la opción de compra de Black-Scholes se calcula multiplicando el precio de la acción por la función de distribución de probabilidad normal acumulada. A continuación, al valor resultante del cálculo anterior se le resta el valor actual neto (VAN) del precio de ejercicio multiplicado por la distribución normal acumulativa.

En notación matemática:

C = S t N ( d 1 ) K e r t N ( d 2 ) donde d 1 = l n S t K + ( r + σ v 2 2 )

t σ s

t y d 2 = d 1 σ s

t donde C = Precio de la opción de compra S = Precio actual de la acción (u otro subyacente) K = Precio de ejercicio r = Tipo de interés sin riesgo t = Tiempo hasta el vencimiento N = Una distribución normal \N – empezar{alinear} &C = S_t N(d _1) – K e ^{-rt} N(d _2)\\\N &\textbf{donde:}\\\\️ &d_1 = \frac{ln\frac{S_t}{K} + (r+ \frac{{sigma ^{2} _v}{2}) \ t}{sigma_s \sqrt{t}} &\texto{y}\a &d_2 = d _1 – \sigma_s \sqrt{t}\\s &\textbf{donde:}\\\\Nse &C = \text{Precio de la opción de compra}\\️ &S = \text{Precio actual de la acción (o de otro subyacente)}\\n &K = \texto{Precio de ejercicio}\\n &r = \text{Tipo de interés libre de riesgo}\\️ &t = \text{Tiempo hasta el vencimiento}\\\️ &N = \text{Una distribución normal}{end}{alineado} C=StN(d1)-Ke-rtN(d2)donde:d1=σs tlnKSt+(r+2σv2) tandd2=d1-σs twdonde:C=Precio de la opción de compraS=Precio actual de la acción (o de otro subyacente)K=Precio de la opción de compra=Tipo de interés libre de riesgoet=Tiempo de vencimientoN=Una distribución normal


Black, Scholes, Merton.
© KhanAcademy

Sesgo de la volatilidad

Black-Scholes asume que los precios de las acciones siguen una distribución lognormal porque los precios de los activos no pueden ser negativos (están limitados por cero).

A menudo, se observa que los precios de los activos tienen una asimetría derecha significativa y cierto grado de curtosis (colas gruesas). Esto significa que los movimientos bajistas de alto riesgo suelen ocurrir con más frecuencia en el mercado de lo que predice una distribución normal.

La suposición de que los precios de los activos subyacentes son logarítmicos debería mostrar que las volatilidades implícitas son similares para cada precio de ejercicio según el modelo Black-Scholes. Sin embargo, desde el desplome del mercado en 1987, las volatilidades implícitas de las opciones at-the-money han sido menores que las de las opciones más alejadas del dinero o muy dentro del dinero. La razón de este fenómeno es que el mercado está valorando una mayor probabilidad de un movimiento de alta volatilidad a la baja en los mercados.

Esto ha llevado a la presencia del sesgo de volatilidad. Cuando las volatilidades implícitas de las opciones con la misma fecha de vencimiento se representan en un gráfico, puede observarse una forma de sonrisa o sesgo. Por tanto, el modelo Black-Scholes no es eficaz para calcular la volatilidad implícita.

Inconvenientes del modelo Black-Scholes

Como se ha dicho anteriormente, el modelo Black-Scholes sólo se utiliza para valorar las opciones europeas y no tiene en cuenta que U.S. las opciones podrían ejercerse antes de la fecha de vencimiento. Además, el modelo asume que los dividendos y las tasas libres de riesgo son constantes, pero esto puede no ser cierto en la realidad. El modelo también asume que la volatilidad permanece constante durante la vida de la opción, lo que no es el caso porque la volatilidad fluctúa con el nivel de oferta y demanda.

Además, los demás supuestos -que no hay costes de transacción ni impuestos; que el tipo de interés sin riesgo es constante para todos los vencimientos; que se permite la venta en corto de valores con uso de los ingresos; y que no hay oportunidades de arbitraje sin riesgo- pueden dar lugar a precios que se desvían del mundo real's.

¿Qué hace el modelo Black-Scholes??

Black-Scholes, también conocido como Black-Scholes-Merton (BSM), fue el primer modelo ampliamente utilizado para la valoración de opciones. Partiendo de la hipótesis de que los instrumentos, como las acciones o los contratos de futuros, tendrán una distribución lognormal de los precios siguiendo un paseo aleatorio con deriva y volatilidad constantes, y teniendo en cuenta otras variables importantes, la ecuación deriva el precio de una opción de compra de tipo europeo. Lo hace restando el valor actual neto (VAN) del precio de ejercicio multiplicado por la distribución normal acumulativa del producto del precio de la acción y la función de distribución de probabilidad normal acumulativa.

¿Cuáles son los datos del modelo Black-Scholes??

Los datos de entrada de la ecuación de Black-Scholes son la volatilidad, el precio del activo subyacente, el precio de ejercicio de la opción, el tiempo hasta el vencimiento de la opción y el tipo de interés sin riesgo. Con estas variables, es teóricamente posible que los vendedores de opciones fijen precios racionales para las opciones que venden.

Qué supuestos tiene el modelo Black-Scholes?

El modelo Black-Scholes hace ciertas suposiciones. La principal es que la opción es europea y sólo puede ejercerse al vencimiento. Otros supuestos son que no se pagan dividendos durante la vida de la opción; que no se pueden predecir los movimientos del mercado; que no hay costes de transacción en la compra de la opción; que la tasa libre de riesgo y la volatilidad del activo subyacente son conocidas y constantes; y que los rendimientos del activo subyacente se distribuyen de forma log-normal.

Cuáles son las limitaciones del modelo Black-Scholes?

El modelo Black-Scholes sólo se utiliza para fijar el precio de las opciones europeas y no tiene en cuenta que las opciones americanas pueden ejercerse antes de la fecha de vencimiento. Además, el modelo asume que los dividendos, la volatilidad y las tasas libres de riesgo permanecen constantes durante la vida de la opción.

No tener en cuenta los impuestos, las comisiones o los costes de negociación o los impuestos también puede llevar a valoraciones que se desvían de los resultados del mundo real.

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  1. Fischer Black y Myron Scholes, "The Pricing of Options and Corporate Liabilities." Journal of Political Economy, Volumen 81, No. 3, 1974, páginas 637-654 

  2. Robert C. Merton, "Teoría de la valoración racional de las opciones." The Bell Journal of Economics and Management Science, Volumen 4, No. 1, 1973, Páginas 141-183.
  3. El Premio Nobel. "Premio del Sveriges Riksbank en Ciencias Económicas en memoria de Alfred Nobel 1997: Robert C. Merton Myron Scholes." Consultado en septiembre. 2, 2021.

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