Definición de relación lineal

Qué es una relación lineal?

Una relación lineal (o asociación lineal) es un término estadístico utilizado para describir una relación rectilínea entre dos variables. Las relaciones lineales pueden expresarse en un formato gráfico en el que la variable y la constante se conectan a través de una línea recta o en un formato matemático en el que la variable independiente se multiplica por el coeficiente de la pendiente, añadido por una constante, que determina la variable dependiente.

Una relación lineal puede contrastarse con una relación polinómica o no lineal (curva).

Puntos clave

  • Una relación lineal (o asociación lineal) es un término estadístico utilizado para describir una relación rectilínea entre dos variables.
  • Las relaciones lineales pueden expresarse en formato gráfico o como una ecuación matemática de la forma y = mx + b.
  • Las relaciones lineales son bastante comunes en la vida cotidiana.

La ecuación lineal es

Matemáticamente, una relación lineal es aquella que satisface la ecuación

y = m x + b donde: m = pendiente b = y-intercepción \N – Inicio{alineación} &y = mx + b \\N – y = mx + b &\textbf{donde:}\\\Nse &m=\texto {pendiente}\\final &b=texto{y}intercepto{y}\}fin{y} y=mx+bdonde:m=pendienteb=intercepción de y

En esta ecuación, „x” e „y” son dos variables que están relacionadas por los parámetros „m” y „b”. Gráficamente, y = mx + b se representa en el plano x-y como una recta con pendiente „m” e intersección „b”.” La intersección „b” es simplemente el valor de „y” cuando x=0. La pendiente „m” se calcula a partir de dos puntos individuales cualesquiera (x1, y1) y (x2, y2) como:

m = ( y 2 y 1 ) ( x 2 x 1 ) m = \frac{(y_2 – y_1)}{(x_2 – x_1)} m=(x2-x1)(y2-y1)

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Relación lineal

Qué nos dice una relación lineal?

Hay tres criterios necesarios para que una ecuación se considere lineal: una ecuación que exprese una relación lineal no puede constar de más de dos variables, todas las variables de una ecuación deben ser de la primera potencia y la ecuación debe tener una gráfica de línea recta.

Una relación lineal comúnmente utilizada es la correlación, que describe la proximidad a la forma lineal de los cambios de una variable en relación con los cambios de otra variable.

En econometría, la regresión lineal es un método muy utilizado para generar relaciones lineales que expliquen diversos fenómenos. Se suele utilizar para extrapolar acontecimientos del pasado y hacer previsiones para el futuro. Sin embargo, no todas las relaciones son lineales. Algunos datos describen relaciones que son curvas (como las relaciones polinómicas) mientras que otros datos no pueden ser parametrizados.

Funciones lineales

Matemáticamente similar a una relación lineal es el concepto de función lineal. En una variable, una función lineal puede escribirse como sigue

f ( x ) = m x + b donde: m = pendiente b = intersección y \Inicio &f(x) = mx + b \N – f(x) = mx + b \N – f(x) = mx + b &\textbf{donde:}\\\\\\\Nse puede decir que es una relación lineal &m=\texto{pendiente}\\\nde la función lineal &b=\text{y-intercepto}\\\\\cinal{alineado} f(x)=mx+bdonde:m=pendienteb=intercepcióny

Esto es idéntico a la fórmula dada para una relación lineal, excepto que se utiliza el símbolo f(x) en lugar de y. Esta sustitución se hace para resaltar el significado de que x se asigna a f(x), mientras que el uso de y simplemente indica que x e y son dos cantidades, relacionadas por A y B.

En el estudio del álgebra lineal, las propiedades de las funciones lineales se estudian ampliamente y se hacen rigurosas. Dado un escalar C y dos vectores A y B de RN, la definición más general de una función lineal dice que 
c × f ( A + B ) = c × f ( A ) + c × f ( B ) c eces f(A +B) = c eces f(A) + c eces f(B) c×f(A+B)=c×f(A)+c×f(B)

Ejemplos de relaciones lineales

Ejemplo 1

Las relaciones lineales son bastante comunes en la vida cotidiana. Tomemos como ejemplo el concepto de velocidad. La fórmula que utilizamos para calcular la velocidad es la siguiente: el índice de velocidad es la distancia recorrida en el tiempo. Si alguien en un monovolumen Chrysler Town and Country blanco de 2007 viaja entre Sacramento y Marysville en California, a 41.3 millas en la autopista 99, y el viaje completo termina tomando 40 minutos, ella habrá estado viajando justo por debajo de 60 mph.

Aunque hay más de dos variables en esta ecuación, sigue siendo una ecuación lineal porque una de las variables siempre será una constante (distancia).

Ejemplo 2

Una relación lineal también se puede encontrar en la ecuación distancia = tasa x tiempo. Como la distancia es un número positivo (en la mayoría de los casos), esta relación lineal se expresaría en el cuadrante superior derecho de un gráfico con un eje X y otro Y.

Si una bicicleta fabricada para dos personas se desplaza a una velocidad de 30 millas por hora durante 20 horas, el ciclista acabará recorriendo 600 millas. Representado gráficamente con la distancia en el eje Y y el tiempo en el eje X, una línea que siga la distancia durante esas 20 horas viajaría en línea recta desde la convergencia de los ejes X e Y.

Ejemplo 3

Para convertir Celsius a Fahrenheit, o Fahrenheit a Celsius, se utilizarían las siguientes ecuaciones. Estas ecuaciones expresan una relación lineal en un gráfico:

° C = 5 9 ( ° F 3 2 ) \grado C = \frac{5}{9}(grado F – 32) °C=95(°F-32)

° F = 9 5 ° C + 3 2 \N-grado F = \frac{9}{5}\N-grado C + 32 °F=59°C+32

Ejemplo 4

Supongamos que la variable independiente es el tamaño de una casa (medido en metros cuadrados) que determina el precio de mercado de una vivienda (la variable dependiente) cuando se multiplica por el coeficiente de pendiente de 207.65 y se añade al término constante 10.500. Si los metros cuadrados de una casa son 1.250, el valor de mercado de la casa es (1.250 x 207).65) + $10,500 = $270,062.50. Gráficamente, y matemáticamente, aparece lo siguiente:

Imagen de Julie Bang © Nuestro equipo 2019

En este ejemplo, a medida que aumenta el tamaño de la casa, el valor de mercado de la misma aumenta de forma lineal.

Algunas relaciones lineales entre dos objetos pueden llamarse una "relación proporcional." Esta relación aparece como

Y = k × X donde: k = constante Y , X = cantidades proporcionales \N – Inicio &Y = k \Nveces X \N – constante &\textbf{donde:}\\\\\\️ &k=\también{constante}\también &Y, X=\texto{cantidades proporcionales}\\final{alineado} Y=k×Xdonde:k=constanteY,X=cantidades proporcionales

Cuando se analizan datos de comportamiento, rara vez existe una relación lineal perfecta entre las variables. Sin embargo, se pueden encontrar líneas de tendencia en los datos que forman una versión aproximada de una relación lineal. Por ejemplo, se pueden considerar las ventas diarias de helados y la temperatura máxima diaria como las dos variables en juego en un gráfico y encontrar una relación lineal aproximada entre ambas.

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  1. Google Maps. "Sacramento, California a Marysville, California." Accedido en agosto. 10, 2020.

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