Definición de la distribución binomial

Qué es la distribución binomial?

La distribución binomial es una distribución de probabilidad que resume la probabilidad de que un valor tome uno de dos valores independientes bajo un conjunto dado de parámetros o supuestos.

Los supuestos subyacentes de la distribución binomial son que sólo hay un resultado para cada ensayo, que cada ensayo tiene la misma probabilidad de éxito, y que cada ensayo es mutuamente excluyente, o independiente de los demás.

Puntos clave

  • La distribución binomial es una distribución de probabilidad que resume la probabilidad de que un valor tome uno de dos valores independientes bajo un conjunto dado de parámetros o supuestos.
  • Los supuestos subyacentes de la distribución binomial son que sólo hay un resultado para cada ensayo, que cada ensayo tiene la misma probabilidad de éxito y que cada ensayo es mutuamente excluyente o independiente.
  • La distribución binomial es una distribución discreta común utilizada en estadística, en contraposición a una distribución continua, como la distribución normal.

Entender la distribución binomial

La distribución binomial es una distribución discreta habitual en estadística, a diferencia de una distribución continua, como la normal. Esto se debe a que la distribución binomial solo cuenta con dos estados, típicamente representados como 1 (para un éxito) o 0 (para un fracaso) dado un número de ensayos en los datos. La distribución binomial representa, pues, la probabilidad de x éxitos en n ensayos, dada una probabilidad de éxito p para cada ensayo.

La distribución binomial resume el número de ensayos, u observaciones cuando cada ensayo tiene la misma probabilidad de alcanzar un valor particular. La distribución binomial determina la probabilidad de observar un número específico de resultados exitosos en un número específico de ensayos.

La distribución binomial se utiliza a menudo en la estadística de las ciencias sociales como un bloque de construcción para los modelos de variables de resultado dicotómicas, como si un republicano o un demócrata ganará unas próximas elecciones o si un individuo morirá en un período de tiempo determinado, etc.

Análisis de la distribución binomial

El valor esperado, o la media, de una distribución binomial, se calcula multiplicando el número de ensayos (n) por la probabilidad de éxito (p), o n x p.

Por ejemplo, el valor esperado del número de cabezas en 100 ensayos de cabeza y cuentos es 50, o (100 * 0.5). Otro ejemplo común de la distribución binomial es la estimación de las probabilidades de éxito de un lanzador de tiros libres en el baloncesto, donde 1 = se encesta y 0 = se falla.

La fórmula de la distribución binomial se calcula como

P(x:n,p)nCx x px(1-p)n-x

donde:

  • n es el número de ensayos (ocurrencias)
  • X es el número de pruebas exitosas
  • p es la probabilidad de éxito en un solo ensayo
  • nCx es la combinación de n y x. Una combinación es el número de formas de elegir una muestra de x elementos de un conjunto de n objetos distintos donde el orden no importa y no se permiten sustituciones. Observe que nCx=n!/(r!(n-r)!), donde ! es factorial (por tanto, 4! = 4 x 3 x 2 x 1)

La media de la distribución binomial es np, y la varianza de la distribución binomial es np (1 – p). Cuando p = 0.5, la distribución es simétrica en torno a la media. Cuando p > 0.5, la distribución está sesgada hacia la izquierda. Cuando p < 0.5, la distribución está sesgada a la derecha.

La distribución binomial es la suma de una serie de múltiples ensayos Bernoulli independientes e idénticamente distribuidos. En un ensayo Bernoulli, se dice que el experimento es aleatorio y sólo puede tener dos resultados posibles: éxito o fracaso.

Por ejemplo, lanzar una moneda se considera un ensayo Bernoulli; cada ensayo sólo puede tomar uno de dos valores (cara o cruz), cada éxito tiene la misma probabilidad (la probabilidad de lanzar una cara es 0.5), y los resultados de un ensayo no influyen en los resultados de otro. La distribución Bernoulli es un caso especial de la distribución binomial donde el número de ensayos n = 1.

Ejemplo de distribución binomial

La distribución binomial se calcula multiplicando la probabilidad de éxito elevada a la potencia del número de aciertos y la probabilidad de fracaso elevada a la potencia de la diferencia entre el número de aciertos y el número de ensayos. A continuación, se multiplica el producto por la combinación entre el número de ensayos y el número de aciertos.

Por ejemplo, supongamos que un casino ha creado un nuevo juego en el que los participantes pueden apostar por el número de caras o colas en un número determinado de lanzamientos de monedas. Supongamos que un participante quiere apostar 10 dólares a que saldrán exactamente seis caras en 20 lanzamientos de moneda. El participante quiere calcular la probabilidad de que esto ocurra, y por lo tanto, utiliza el cálculo de la distribución binomial.

La probabilidad se ha calculado como (20! / (6! * (20 – 6)!)) * (0.50)^(6) * (1 – 0.50) ^ (20 – 6). En consecuencia, la probabilidad de que salgan exactamente seis caras en 20 lanzamientos de la moneda es de 0.037, o 3.7%. El valor esperado era de 10 cabezas en este caso, por lo que el participante hizo una mala apuesta.

Dodaj komentarz