Comprender el modelo de valoración de opciones binomial

Cómo determinar el precio de las acciones

Acordar un precio exacto para cualquier activo negociable es un reto, por eso los precios de las acciones cambian constantemente. En realidad, las empresas apenas cambian sus valoraciones en el día a día, pero los precios de sus acciones y sus valoraciones cambian casi cada segundo. Esta dificultad para llegar a un consenso sobre el precio correcto de cualquier activo negociable da lugar a oportunidades de arbitraje de corta duración.

Pero gran parte del éxito de las inversiones se reduce a una simple cuestión de valoración en el presente: cuál es el precio actual correcto para un pago futuro esperado?

Puntos clave

• El modelo binomial de valoración de opciones valora las opciones mediante un enfoque iterativo que utiliza múltiples periodos para valorar las opciones americanas.
• Con el modelo, hay dos resultados posibles con cada iteración: un movimiento al alza o un movimiento a la baja que siguen un árbol binomial.
• El modelo es intuitivo y se utiliza con más frecuencia en la práctica que el conocido modelo Black-Scholes.

Valoración de opciones binomial

En un mercado competitivo, para evitar las oportunidades de arbitraje, los activos con estructuras de pago idénticas deben tener el mismo precio. La valoración de las opciones ha sido una tarea difícil y las variaciones de precios dan lugar a oportunidades de arbitraje. Black-Scholes sigue siendo uno de los modelos más populares utilizados para valorar las opciones, pero tiene limitaciones.

El modelo de valoración de opciones binomial es otro método popular utilizado para la valoración de opciones.

Ejemplos

Supongamos que existe una opción de compra sobre una determinada acción con un precio de mercado actual de 100 dólares. La opción at-the-money (ATM) tiene un precio de ejercicio de 100 dólares y un plazo de vencimiento de un año. Hay dos operadores, Peter y Paula, que están de acuerdo en que el precio de las acciones subirá a 110 dólares o bajará a 90 dólares en un año.

Coinciden en los niveles de precios esperados en un plazo determinado de un año, pero discrepan en la probabilidad del movimiento al alza o a la baja. Pedro cree que la probabilidad de que el precio de las acciones llegue a 110 dólares es del 60%, mientras que Paula cree que es del 40%.

Basándose en esto, ¿quién estaría dispuesto a pagar más precio por la opción de compra?? Posiblemente Peter, ya que espera una alta probabilidad de que se produzca un movimiento alcista.

Cálculos de opciones binomiales

Los dos activos de los que depende la valoración son la opción de compra y la acción subyacente. Existe un acuerdo entre los participantes de que el precio de la acción subyacente puede pasar de los 100 dólares actuales a 110 o 90 dólares en un año y no hay otros movimientos de precios posibles.

En un mundo sin arbitraje, si tiene que crear una cartera compuesta por estos dos activos, la opción de compra y la acción subyacente, de manera que, independientemente de la evolución del precio subyacente -110 o 90 dólares-, la rentabilidad neta de la cartera siempre sea la misma. Supongamos que compra "d" acciones del subyacente y vende una opción de compra para crear esta cartera.

Si el precio sube a 110 dólares, sus acciones valdrán 110*d, y usted perderá 10 dólares en el pago de la opción de compra corta. El valor neto de su cartera será (110d – 10).

Si el precio baja a 90 dólares, sus acciones valdrán 90*d, y la opción expirará sin valor. El valor neto de su cartera será (90d).

Si quiere que el valor de su cartera siga siendo el mismo, independientemente de la evolución del precio de la acción subyacente, el valor de su cartera debería ser el mismo en ambos casos:

$\begin{aligned} &h(d) – m = l ( d ) \N – h(d) &\textbf{donde:} \\ &h = \text{Precio potencial más alto del subyacente} \ &d = \texto{Número de acciones subyacentes} \\\\N – &m = \text{Dinero perdido en el pago de la opción de compra a corto plazo} \ &l = \text{Precio subyacente potencial más bajo} \end{alineado}$h(d)-m=l(d)donde:h=Precio potencial más alto del subyacente=Número de acciones subyacentesm=Dinero perdido en el pago de la compra en cortol=Precio potencial más bajo del subyacente

Por lo tanto, si compra media acción, suponiendo que las compras fraccionadas sean posibles, conseguirá crear una cartera de modo que su valor siga siendo el mismo en los dos estados posibles dentro del plazo dado de un año.

$\N – Inicio &110d – 10 = 90d \N – Precio de compra &d = \frac{ 1 }{ 2 } \frac{ fin{ alineado}$110d-10=90dd=21

Este valor de la cartera, indicado por (90d) o (110d – 10) = 45, es a un año vista. Para calcular su valor actual, se puede descontar por la tasa de rendimiento sin riesgo (suponiendo un 5%).

$\N – Inicio{alineado} \N – Texto{Valor actual} &= 90d \times e^ { (-5\% \times 1 \text{ Año}) } \\\\️ &= 45 \N veces 0.9523 \\ &= 42.85 \\N – fin {alineado}$Valor actual=90d×e(-5%×1 año)=45×0.9523=42.85

Dado que en la actualidad la cartera se compone de ½ acción del subyacente (con un precio de mercado de 100 dólares) y una opción de compra corta, debería ser igual al valor actual.

$\N – Inicio{alineado} &\frac { 1 }{ 2} \times 100 – 1 \text{Call Price} = \$42.85 \\ &\text{Precio de compra} = \$7.14 \text{, i.e. el precio de la opción de compra de hoy} \end{alineado}$21×100-1×Precio de compra=42 dólares.85Precio de compra=7 dólares.14, i.e. el precio de compra de hoy

Dado que esto se basa en la suposición de que el valor de la cartera sigue siendo el mismo independientemente de la dirección del precio subyacente, la probabilidad de un movimiento alcista o bajista no juega ningún papel. La cartera sigue sin riesgo independientemente de los movimientos del precio subyacente.

En ambos casos (se supone que el movimiento al alza es de 110 dólares y el movimiento a la baja es de 90 dólares), su cartera es neutral al riesgo y obtiene la tasa de rendimiento libre de riesgo.

Por lo tanto, ambos operadores, Pedro y Paula, estarían dispuestos a pagar los mismos 7 dólares.14 para esta opción de compra, a pesar de sus diferentes percepciones de las probabilidades de movimientos al alza (60% y 40%). Sus probabilidades percibidas individualmente no importan en la valoración de la opción.

Suponiendo, en cambio, que las probabilidades individuales importan, pueden presentarse oportunidades de arbitraje. En el mundo real, estas oportunidades de arbitraje existen con pequeñas diferencias de precios y desaparecen a corto plazo.

Pero, ¿dónde está la tan cacareada volatilidad en todos estos cálculos, un factor importante y sensible que afecta al precio de las opciones?

La volatilidad ya está incluida por la naturaleza de la definición del problema. Suponiendo dos (y sólo dos, de ahí el nombre de „binomio”) estados de niveles de precios (110 y 90 dólares), la volatilidad está implícita en este supuesto y se incluye automáticamente (10% en cualquier caso en este ejemplo).

Black-Scholes

Pero, ¿es este planteamiento correcto y coherente con la fijación de precios Black-Scholes comúnmente utilizada? Los resultados de la calculadora de opciones (cortesía de la OIC) coinciden estrechamente con el valor calculado:

Desafortunadamente, el mundo real no es tan simple como „sólo dos estados.”La acción puede alcanzar varios niveles de precio antes del tiempo de vencimiento.

¿Es posible incluir todos estos niveles múltiples en un modelo de fijación de precios binomial que se limita a sólo dos niveles?? Sí, es muy posible, pero para entenderlo se necesitan algunas matemáticas sencillas.

Matemáticas simples

Generalizar este problema y su solución:

"X" es el precio de mercado actual de una acción y "X*u" y "X*d" son los precios futuros para movimientos al alza y a la baja "t" años después. El factor "u" será mayor que uno, ya que indica un movimiento alcista, y "d" estará entre cero y uno. Para el ejemplo anterior, u = 1.1 y d = 0.9.

Los pagos de la opción de compra son "P_arriba" y "P_dn" para los movimientos al alza y a la baja en el momento del vencimiento.

Si se construye una cartera de "s" acciones compradas hoy y se pone en corto una opción de compra, al cabo del tiempo "t":

$\Comienza.. &\Texto {VUM} = s tiempos X tiempos u – P_texto{arriba} – P_texto{abajo} &\donde:} \\ &\text{VUM} = \text{Valor de la cartera en caso de un movimiento alcista} \end{alineado}$VUM=s×X×u-Pupwhere:VUM=Valor de la cartera en caso de un movimiento alcista

$\Inicio &\text{VDM} = s \times X \times d – P_\text{down} \text &\textbf{donde:} \\ &\text{VDM} = \text{Valor de la cartera en caso de movimiento a la baja} \end{alineado}$VDM=s×X×d-Pdowndonde:VDM=Valor de la cartera en caso de movimiento a la baja

Para una valoración similar en cualquier caso de movimiento del precio

$s \times X \times u – P_\text{up} = s \times X \times d – P_\text{down}$s×X×u-Pup=s×X×d-Pdown

$|aligned} s &= \frac{ P_\text{up} – P_\text{down} }{ X \times ( u – d) } \frac &= \texto{el número de acciones a comprar por} \\\\\c &\phantom{=} \text{un portafolio libre de riesgo} \end{aligned}$s=X×(u-d)Pup-Pdown=El número de acciones a comprar para=una cartera sin riesgo

El valor futuro de la cartera al final de "t" años será:

$\N – Inicio {alineado} \N – Texto {en caso de movimiento hacia arriba} &= s \times X \times u – P_\text{up} \️ &=\frac { P_\text{up} – P_\text{down} }{ u – d} \times u – P_\text{up} \end{aligned}$En caso de movimiento ascendente=s×X×u-Pup=u-dPup-Pdown×u-Pup

$\N – Inicio {alineado} \N – Texto {en caso de movimiento hacia abajo} &= s \times X \times d – P_\text{down} \\\️ &=\frac { P_\text{up} – P_\text{down} }{ u – d} \times d – P_\text{down} \end{aligned}$En caso de movimiento hacia abajo=s×X×d-Pdown=u-dPup-Pdown×d-Pdown

El valor actual se puede obtener descontando con la tasa de rendimiento sin riesgo

$\begin{alineado} &\text{PV} = e(-rt) \left [ \frac { P_\text{up} – P_\text{down} }{ u – d} \times u – P_\text{up} \right ] \ &\textobf{donde:} \\ &\texto{PV} = \texto{Valor actual} \\\texto &r = \text{Tasa de retorno} \\text{Tasa de retorno} &t = \text{Tiempo, en años} \end{alineado}$PV=e(-rt)×[u-dPup-Pdown×u-Pup]donde:PV=Valor actual=Tasa de rendimientot=Tiempo, en años

Esto debería coincidir con la tenencia de la cartera de "s" acciones al precio X, y el valor de la llamada corta "c" (la tenencia actual de (s* X – c) debería equivaler a este cálculo.) Resolviendo para "c" finalmente se obtiene como

Nota: Si la prima de compra se pone en corto, debe ser una adición a la cartera, no una sustracción.

$c = \frac { e(-rt) }{ u – d} \times [ ( e ( -rt ) – d ) \times P_\text{up} + ( u – e ( -rt ) ) \times P_\text{down} ]$c=u-de(-rt)×[(e(-rt)-d)×Pup+(u-e(-rt))×Pdown].

Otra forma de escribir la ecuación es reordenándola:

Tomando "q" como

$q = \frac { e (-rt) – d }{ u – d }$q=u-de(-rt)-d

Entonces la ecuación se convierte en

$c = e ( -rt ) \times ( q \times P_\text{up} + (1 – q) \times P_\text{down} )$c=e(-rt)×(q×Pup+(1-q)×Pdown)

Reordenando la ecuación en términos de „q” se ha ofrecido una nueva perspectiva.

Ahora se puede interpretar „q” como la probabilidad del movimiento alcista del subyacente (ya que „q” está asociada a P_arriba y „1-q” está asociado a P_dn). En general, la ecuación representa el precio actual de la opción, el valor descontado de su pago al vencimiento.

Este "Q" es diferente

¿En qué se diferencia esta probabilidad „q” de la probabilidad de un movimiento alcista o bajista del subyacente??

$\begin{aligned} &\texto{VSP} = q \times X \times u + ( 1 – q ) \times X \times d \times &\textbf{donde:} \\ &\text{VSP} = \text{Valor del precio de la acción en el momento} t \end{alineado}$VSP=q×X×u+(1-q)×X×donde:VSP=Valor del precio de la acción en el momento t

Sustituyendo el valor de "q" y reordenando, el precio de la acción en el momento "t" resulta

$\Comienza.. &\text{Precio de las acciones} = e ( rt ) \times X \end{aligned}$Precio de las acciones=e(rt)×X

En este supuesto mundo de dos estados, el precio de las acciones simplemente sube por la tasa de rendimiento libre de riesgo, exactamente como un activo libre de riesgo, y por lo tanto sigue siendo independiente de cualquier riesgo. Los inversores son indiferentes al riesgo bajo este modelo, por lo que éste constituye el modelo neutral al riesgo.

La probabilidad „q” y "(1-q)" se conocen como probabilidades neutrales al riesgo y el método de valoración se conoce como modelo de valoración neutral al riesgo.

El escenario de ejemplo tiene un requisito importante: se requiere la estructura de pagos futuros con precisión (nivel 110 dólares y 90 dólares). En la vida real, no es posible tener tanta claridad sobre los niveles de precios basados en pasos, sino que el precio se mueve aleatoriamente y puede establecerse en múltiples niveles.

Para ampliar el ejemplo, supongamos que los niveles de precios en dos etapas son posibles. Conocemos los pagos finales del segundo paso y necesitamos valorar la opción hoy (en el paso inicial):

Trabajando hacia atrás, la valoración intermedia de la primera etapa (en t = 1) puede hacerse utilizando los pagos finales de la segunda etapa (t = 2), y luego utilizando esta valoración calculada de la primera etapa (t = 1), se puede llegar a la valoración actual (t = 0) con estos cálculos.

Para obtener el precio de la opción en el número dos, se utilizan los pagos en el cuatro y el cinco. Para obtener el precio del número tres, se utilizan los pagos del cinco y del seis. Finalmente, los pagos calculados en dos y tres se utilizan para obtener el precio en el número uno.

Tenga en cuenta que este ejemplo supone el mismo factor para los movimientos al alza (y a la baja) en ambos pasos: u y d se aplican de forma compuesta.

Un ejemplo de trabajo

Supongamos que una opción de venta con un precio de ejercicio de 110 dólares cotiza actualmente a 100 dólares y vence dentro de un año. El tipo anual sin riesgo es del 5%. Se espera que el precio aumente un 20% y disminuya un 15% cada seis meses.

Aquí, u = 1.2 y d = 0.85, x = 100, t = 0.5

utilizando la fórmula derivada anterior de

$q = \frac { e (-rt) – d }{ u – d }$q=u-de(-rt)-d

obtenemos q = 0.35802832

valor de la opción de venta en el punto 2,

$\begin{aligned} &p_2 = e (-rt) \times (p \times P_\text{up} + ( 1 – q) P_\text{updn} ) \ &\textbf{donde:} \\ &p = \text{Precio de la opción de venta} \end{alineado}$p2=e(-rt)×(p×Pupup+(1-q)Pupdn)donde:p=Precio de la opción de venta

En P_upup condición, el subyacente será = 100*1.2*1.2 = $144 que lleva a P_upup = cero

Con P_updn condición, subyacente será = 100*1.2*0.85 = $102 lo que lleva a P_updn = $8

En P_dndn condición, subyacente será = 100*0.85*0.85 = $72.25 que lleva a P_dndn = $37.75

p₂ = 0.975309912*(0.35802832*0+(1-0.35802832)*8) = 5.008970741

Del mismo modo, p₃ = 0.975309912*(0.35802832*8+(1-0.35802832)*37.75) = 26.42958924

$p_1 = e ( -rt ) \times ( q \times p_2 + ( 1 – q ) p_3 )$p1=e(-rt)×(q×p2+(1-q)p3)

Y, por tanto, el valor de la opción de venta, p₁ = 0.975309912*(0.35802832*5.008970741+(1-0.35802832)* 26.42958924) = $18.29.

Del mismo modo, los modelos binomiales permiten dividir la duración completa de la opción en múltiples pasos y niveles más refinados. Utilizando programas informáticos u hojas de cálculo, se puede trabajar hacia atrás, paso a paso, para obtener el valor actual de la opción deseada.

Otro ejemplo

Supongamos una opción de venta de tipo europeo con nueve meses hasta el vencimiento, un precio de ejercicio de 12 dólares y un precio subyacente actual de 10 dólares. Suponga una tasa libre de riesgo del 5% para todos los períodos. Supongamos que cada tres meses, el precio subyacente puede moverse un 20% hacia arriba o hacia abajo, lo que nos da u = 1.2, d = 0.8, t = 0.25 y un árbol binomial de tres pasos.

El rojo indica los precios subyacentes, mientras que el azul indica el pago de las opciones de venta.

La probabilidad neutra de riesgo "q" se calcula en 0.531446.

Utilizando el valor anterior de "q" y los valores de pago a t = nueve meses, los valores correspondientes a t = seis meses se calculan como

Además, utilizando estos valores calculados en t = 6, los valores en t = 3 y luego en t = 0 son

Eso da el valor actual de una opción de venta como 2 dólares.18, bastante parecido a lo que se obtendría haciendo los cálculos con el modelo Black-Scholes (2.30).

El resultado final

Aunque el uso de programas informáticos puede facilitar estos cálculos intensivos, la predicción de los precios futuros sigue siendo una de las principales limitaciones de los modelos binomiales de valoración de opciones. Cuanto más finos sean los intervalos de tiempo, más difícil será predecir los pagos al final de cada periodo con un alto nivel de precisión.

Sin embargo, la flexibilidad para incorporar los cambios esperados en diferentes periodos es una ventaja, lo que lo hace adecuado para la fijación de precios de las opciones americanas, incluidas las valoraciones de ejercicio anticipado.

Los valores calculados con el modelo binomial coinciden estrechamente con los calculados con otros modelos de uso común, como el Black-Scholes, lo que indica la utilidad y la precisión de los modelos binomiales para la valoración de opciones. Los modelos de fijación de precios binomiales pueden desarrollarse de acuerdo con las preferencias de un operador y pueden funcionar como una alternativa a Black-Scholes.

Fuentes del artículo

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