La valoración de las opciones puede ser un asunto complicado. Considere el siguiente escenario: en enero de 2015, las acciones de IBM cotizaban a 155 dólares y usted esperaba que subieran en el siguiente año. Usted tiene la intención de comprar una opción de compra sobre las acciones de IBM con un precio de ejercicio ATM de 155 dólares, esperando beneficiarse de un alto porcentaje de rendimiento, basado en un pequeño coste de la opción (prima de la opción), en comparación con la compra de acciones con un precio de compra alto.
Hoy en día, existen un par de métodos diferentes para valorar las opciones, como el modelo Black-Scholes y el modelo de árbol binomial, que pueden proporcionar respuestas rápidas. Pero cuáles son los factores subyacentes y los conceptos impulsores para llegar a esos modelos de valoración? ¿Se puede elaborar algo similar, basado en el concepto de estos modelos?
A continuación, se exponen los elementos básicos, los conceptos subyacentes y los factores que pueden servir de marco para construir un modelo de valoración de un activo como las opciones, comparándolos con los orígenes del modelo Black-Scholes (BS).
Este artículo no pretende cuestionar los supuestos o cualquier otro factor del modelo BS (que es un tema totalmente diferente); más bien, pretende explicar el concepto subyacente del modelo Black-Scholes, junto con la idea de desarrollo de modelos de valoración.
El mundo antes de Black-Scholes
Antes de Black-Scholes, el modelo de valoración de activos de capital (CAPM), basado en el equilibrio, era ampliamente utilizado. Los rendimientos y los riesgos estaban equilibrados entre sí, según la preferencia del inversor, i.e. se esperaba que un inversor que asumiera mucho riesgo fuera compensado con (el potencial de) mayores rendimientos en una proporción similar.
El modelo BS tiene sus raíces en el CAPM. Según Fischer Black „He aplicado el Modelo de Valoración de Activos de Capital a cada momento de la vida de un warrant, para cada posible precio de la acción y valor del warrant.”Desgraciadamente, el CAPM no pudo cumplir el requisito de la fijación de precios de los warrants (opciones).
Black-Scholes sigue siendo el primer modelo, basado en el concepto de arbitraje, que supone un cambio de paradigma respecto a los modelos basados en el riesgo (como el CAPM). Este nuevo desarrollo del modelo BS sustituyó el concepto de rentabilidad bursátil del CAPM por el reconocimiento del hecho de que una posición perfectamente cubierta obtendrá una tasa libre de riesgo. En él se eliminaron las variaciones de riesgo y rendimiento, y se estableció el concepto de arbitraje, en el que las valoraciones se realizan sobre la base de un concepto de neutralidad del riesgo: una posición cubierta (sin riesgo) debería conducir a una tasa de rendimiento sin riesgo.
El desarrollo de Black-Scholes
Empecemos por establecer el problema, cuantificarlo y desarrollar un marco para su solución. Continuamos con nuestro ejemplo sobre la valoración de la opción de compra ATM sobre IBM con un precio de ejercicio de 155 dólares y un año de vencimiento.
De acuerdo con la definición básica de una opción de compra, a menos que el precio de las acciones alcance el nivel del precio de ejercicio, la retribución seguirá siendo cero. A partir de ese nivel, la retribución aumenta linealmente (i.e., un aumento de un dólar en el subyacente proporcionará un pago de un dólar de la opción de compra).
Suponiendo que el comprador y el vendedor están de acuerdo en la valoración justa (incluido el precio cero), el precio justo teórico de esta opción de compra será:
- Precio de la opción de compra = $0, si es subyacente < huelga (gráfico rojo)
- Precio de la opción de compra = (subyacente-strike), si el subyacente >= huelga (gráfico azul)
Esto representa el valor intrínseco de la opción y parece perfecto desde el punto de vista de un comprador de opciones de compra. En la zona roja, tanto el comprador como el vendedor tienen una valoración justa (precio cero para el vendedor, pago cero para el comprador). Sin embargo, el desafío de la valoración comienza con la región azul, ya que el comprador tiene la ventaja de un pago positivo, mientras que el vendedor sufre una pérdida (siempre que el precio subyacente supere el precio de ejercicio). En este caso, el comprador tiene ventaja sobre el vendedor con un precio cero. El precio debe ser distinto de cero para compensar al vendedor por el riesgo que asume.
En el primer caso (gráfico rojo), teóricamente, el vendedor recibe un precio cero y el comprador tiene un potencial de recompensa cero (justo para ambos). En el segundo caso (gráfico azul), el diferencial entre el subyacente y el strike debe ser pagado por el vendedor al comprador. El riesgo del vendedor se extiende a lo largo de todo un año. Por ejemplo, el precio de la acción subyacente puede subir mucho (por ejemplo, hasta 200 dólares en cuatro meses) y el vendedor debe pagar al comprador el diferencial de 45 dólares.
Por lo tanto, se reduce a:
Esto indica el gran riesgo asumido por el vendedor, lo que lleva a preguntarse por qué alguien vendería una opción de compra de este tipo, si no obtiene nada por el riesgo que está asumiendo?
Nuestro objetivo es llegar a un único precio que el vendedor debería cobrar al comprador, que pueda compensar el riesgo global que está asumiendo durante un año, tanto en la región de pago cero (rojo) como en la región de pago lineal (azul). El precio debe ser justo y aceptable tanto para el comprador como para el vendedor. Si no es así, el que está en desventaja en cuanto a pagar o recibir un precio injusto no participará en el mercado, con lo que se desvirtúa el propósito del negocio de la negociación. El modelo Black-Scholes pretende establecer este precio justo considerando la variación constante del precio de la acción, el valor temporal del dinero, el precio de ejercicio de la opción y el tiempo hasta el vencimiento de la opción. De forma similar al modelo BS, veamos cómo podemos acercarnos a evaluar esto para nuestro ejemplo utilizando nuestros propios métodos.
Cómo evaluar el valor intrínseco en la región azul?
Existen un par de métodos para predecir el movimiento esperado del precio en el futuro durante un periodo de tiempo determinado:
- Se pueden analizar movimientos de precios similares de la misma duración en el pasado reciente. El precio de cierre histórico de IBM indica que en el último año (enero. 2, 2014, a Dic. 31 de 2014), el precio bajó a 160 dólares.44 de 185 dólares.53, un descenso del 13.5%. ¿Podemos concluir un -13?.5% de movimiento de precios para IBM?
- Una comprobación más detallada indica que tocó un máximo anual de 199 dólares.21 (el 10 de abril de 2014) y un mínimo anual de 150 dólares.5 (en Dic. 16, 2014). Basándonos en el día de inicio, enero. 2, 2014, y el precio de cierre de 185 dólares.53, el porcentaje de cambio varía del +7.37% a -18.88%. Ahora, el rango de variación parece mucho más amplio en comparación con el descenso calculado anteriormente del 13.5%.
Se pueden realizar análisis y observaciones similares sobre los datos históricos. Para continuar con el desarrollo de nuestro modelo de precios, asumamos esta sencilla metodología para calibrar las futuras variaciones de precios.
Supongamos que IBM sube un 10% cada año (según los datos históricos de los últimos 20 años). Las estadísticas básicas indican que la probabilidad de que el precio de las acciones de IBM varíe en torno al +10% será mucho mayor que la probabilidad de que el precio de IBM suba un 20% o baje un 30%, suponiendo que se repitan los patrones históricos. Recogiendo puntos de datos históricos similares con valores de probabilidad, puede calcularse una rentabilidad global esperada del precio de las acciones de IBM en un plazo de un año como media ponderada de las probabilidades y las rentabilidades asociadas. Por ejemplo, supongamos que los datos históricos del precio de IBM indican los siguientes movimientos:
- (-10%) en el 25% de las veces,
- +10% en el 35% de las veces,
- +15% en el 20% de las veces,
- +20% en el 10% de las veces,
- +25% en el 5% de las veces y
- (-15%) en el 5% de las veces.
Por lo tanto, la media ponderada (o el Valor Esperado) llega a:
(-10%*25% + 10%*35% + 15%*20% + 20%*10% + 25%*5% – 15%*5%)/100% = 6.5%
Es decir, en promedio, se espera que el precio de las acciones de IBM retorne +6.5% en el plazo de un año por cada dólar. Si alguien compra las acciones de IBM con un horizonte de un año y un precio de compra de 155 dólares, se puede esperar una rentabilidad neta de 155*6.5% = $10.075.
Sin embargo, se trata de la rentabilidad de la acción. Debemos buscar una rentabilidad esperada similar para la opción de compra.
Si la opción de compra se sitúa por debajo del precio de ejercicio (la opción de compra existente de 155 $ – ATM), todos los movimientos negativos generarán un beneficio nulo, mientras que todos los movimientos positivos por encima del precio de ejercicio generarán un beneficio equivalente. La rentabilidad esperada para la opción de compra será, por tanto, la siguiente
(-0%*25% + 10%*35% + 15%*20% + 20%*10% + 25%*5%-0%*5%)/100% = 9.75%
Es decir, por cada 100 dólares invertidos en la compra de esta opción, se pueden esperar 9.75 (basado en los supuestos anteriores).
Sin embargo, esto sigue limitándose a la valoración justa del importe intrínseco de la opción y no capta correctamente el riesgo soportado por el vendedor de la opción por las grandes oscilaciones que pueden producirse en el intervalo (en el caso de los precios máximos y mínimos intraanuales mencionados anteriormente). Además del valor intrínseco, qué precio pueden acordar el comprador y el vendedor, de modo que el vendedor reciba una compensación justa por el riesgo que asume en el plazo de un año?
Estas oscilaciones pueden ser muy variadas y el vendedor puede tener su propia interpretación de cuánto quiere ser compensado por ello. El modelo Black-Scholes supone opciones de tipo europeo, i.e. sin ejercicio antes de la fecha de vencimiento. De este modo, no se ve afectado por las oscilaciones intermedias de los precios y basa su valoración en los días de negociación de fin de año.
En la negociación diaria real, esta volatilidad desempeña un papel importante en la determinación de los precios de las opciones. La función de rentabilidad azul que solemos ver es en realidad la rentabilidad a la fecha de vencimiento. Siendo realistas, el precio de la opción (gráfico rosa) es siempre superior a la retribución (gráfico azul), lo que indica el precio asumido por el vendedor para compensar su capacidad de riesgo. Por ello, el precio de la opción también se conoce como „prima” de la opción, que indica esencialmente la prima de riesgo.
Esto puede incluirse en nuestro modelo de valoración, dependiendo de cuánta volatilidad se espera en el precio de las acciones y cuánto valor esperado se obtendría.
El modelo Black-Scholes lo hace de manera eficiente (por supuesto, dentro de sus propios supuestos) de la siguiente manera
C=S×N(d1)-X×e-rTN(d2)
El modelo BS supone una distribución lognormal de los movimientos de los precios de las acciones, lo que justifica el uso de N(d1) y N(d2).
- En la primera parte, S indica el precio actual de la acción.
- N(d1) indica la probabilidad del movimiento actual del precio de la acción.
Si esta opción entra en el dinero y permite al comprador ejercerla, obtendrá una acción del título subyacente de IBM. Si el operador la ejerce hoy, el S*N(d1) representa el valor esperado de la opción en el día actual.
En la segunda parte, X indica el precio de ejercicio.
- N(d2) representa la probabilidad de que el precio de la acción esté por encima del precio de ejercicio.
- Así, X*N(d2) representa el valor esperado del precio de la acción que queda por encima de el precio de ejercicio.
Como el modelo Black-Scholes supone opciones de tipo europeo en las que el ejercicio sólo es posible al final, el valor esperado representado anteriormente por X*N(d2) debe descontarse por el valor temporal del dinero. Por lo tanto, la última parte se multiplica con el término exponencial elevado al tipo de interés durante el periodo de tiempo.
La diferencia neta de los dos términos indica el valor del precio de la opción a día de hoy (en el que se descuenta el segundo término)
En nuestro marco, estos movimientos de precios pueden incluirse con mayor precisión a través de múltiples formas:
- Perfeccionamiento de los cálculos de la rentabilidad esperada ampliando el rango a intervalos más finos para incluir los movimientos de precios intradía/intraanuales
- Inclusión de datos de mercado actuales, ya que reflejan la actividad actual (similar a la volatilidad implícita)
- Los rendimientos esperados en la fecha de vencimiento, que pueden descontarse hasta el día actual para obtener valoraciones realistas y reducirse aún más a partir del valor actual
De este modo, vemos que no hay límite en cuanto a los supuestos, las metodologías y la personalización que se puede seleccionar para el análisis cuantitativo. Dependiendo del activo a negociar o de la inversión a considerar, se puede trabajar con un modelo de desarrollo propio. Es importante tener en cuenta que la volatilidad de los movimientos de los precios de las diferentes clases de activos varía mucho -las acciones tienen una volatilidad sesgada, el mercado de divisas tiene una volatilidad fruncida- y los usuarios deben incorporar los patrones de volatilidad aplicables en sus modelos. Las suposiciones y los inconvenientes son parte integrante de cualquier modelo, y la aplicación informada de los modelos en escenarios comerciales del mundo real puede dar mejores resultados.
El resultado final
Con la entrada de activos complejos en los mercados o incluso de activos simples en formas complejas de negociación, la modelización y el análisis cuantitativos se están convirtiendo en obligatorios para la valoración. Desgraciadamente, ningún modelo matemático está exento de una serie de inconvenientes y suposiciones. El mejor enfoque es mantener los supuestos al mínimo y ser consciente de los inconvenientes implícitos, lo que puede ayudar a trazar las líneas de uso y aplicabilidad de los modelos.
Fuentes del artículo
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